Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

En un curso de un instituto hay tres clases: la clase A con 50 alumnos, la clase B con 30 y la clase C con 20. Cada clase tiene un profesor distinto de matemáticas. Con el profesor de la clase A aprueban el 40 % de los alumnos, con el de la clase B el 50 % y con el de la clase C el 75 % de los alumnos. Se coge al azar un alumno del curso. Calcule:

a) La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B. [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$A$, $B$, $C \equiv$ el alumno elegido es de esa clase

$S \equiv$ el alumno ha aprobado matemáticas

El curso tiene $50+30+20=100$ alumnos, así que las probabilidades de la primera etapa salen de esos recuentos.

$P(A)=\dfrac{50}{100}=0{,}50, \qquad P(B)=\dfrac{30}{100}=0{,}30, \qquad P(C)=\dfrac{20}{100}=0{,}20$

$P(S|A)=0{,}40, \qquad P(S|B)=0{,}50, \qquad P(S|C)=0{,}75$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) La probabilidad de que el alumno haya aprobado matemáticas. [1,25 puntos]}$

Las tres clases forman un sistema completo de sucesos, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando los tres caminos que terminan en $S$.

$P(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)+P(C)P(S|C)$

$P(S)=0{,}50\cdot0{,}40+0{,}30\cdot0{,}50+0{,}20\cdot0{,}75$

$P(S)=0{,}20+0{,}15+0{,}15=0{,}50$

La probabilidad de que el alumno elegido haya aprobado matemáticas es $0{,}50$, es decir, un $50\%$.

$\textbf{b) Sabiendo que ha aprobado, cuál es la probabilidad de que sea de la clase B. [1,25 puntos]}$

Se conoce el resultado y se pregunta por la clase, así que es una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(B|S)=\dfrac{P(B)\cdot P(S|B)}{P(S)}$

$P(B|S)=\dfrac{0{,}30\cdot0{,}50}{0{,}50}=\dfrac{0{,}15}{0{,}50}$

$P(B|S)=0{,}30$

Sabiendo que el alumno ha aprobado, la probabilidad de que sea de la clase B es $0{,}30$, exactamente la misma que tenía antes de conocer el resultado: la clase B aprueba justo en la media del curso, de modo que ese dato no aporta información sobre su procedencia.