Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

En un espacio muestral se tienen dos sucesos: $A$ y $B$. Se conocen las siguientes probabilidades: $P(A \cap B) = 0{,}3$, $P(A/B) = P(B/A)$ y $P(\overline{A}) = 0{,}2$, siendo $\overline{A}$ el suceso contrario de $A$. Calcule:

a) $P(B/A)$. [1 punto]

b) $P(B)$. [1 punto]

c) ¿Son los sucesos independientes? [0,5 puntos]

Partimos de los datos del enunciado. La probabilidad de $A$ se obtiene del suceso contrario.

$P(A\cap B)=0{,}3, \qquad P(A)=1-P(\overline{A})=1-0{,}2=0{,}8$

$\textbf{a) } \boldsymbol{P(B/A)}\textbf{. [1 punto]}$

Aplicamos directamente la definición de probabilidad condicionada, cuyos dos ingredientes ya conocemos.

$P(B/A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

$P(B/A)=\dfrac{0{,}3}{0{,}8}=\dfrac{3}{8}=0{,}375$

La probabilidad de $B$ condicionada a $A$ vale $0{,}375$.

$\textbf{b) } \boldsymbol{P(B)}\textbf{. [1 punto]}$

Escribimos también la otra condicionada con su definición y usamos la igualdad que da el enunciado.

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}3}{P(B)}$

$P(A/B)=P(B/A) \Rightarrow \dfrac{0{,}3}{P(B)}=0{,}375$

$P(B)=\dfrac{0{,}3}{0{,}375}=0{,}8$

Conviene observar que el resultado no depende de los números concretos: al ser el numerador el mismo en las dos condicionadas, igualarlas equivale a igualar los denominadores, es decir, $P(A)=P(B)$.

La probabilidad de $B$ vale $0{,}8$.

$\textbf{c) ¿Son los sucesos independientes? [0,5 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección coincide con el producto de sus probabilidades. Basta comparar los dos números.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64$

$P(A\cap B)=0{,}3\neq0{,}64=P(A)\cdot P(B)$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

Conviene advertir, por último, que los datos del enunciado no describen una asignación de probabilidades posible: con $P(A)=P(B)=0{,}8$ y $P(A\cap B)=0{,}3$ resultaría

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}8+0{,}8-0{,}3=1{,}3>1$

lo cual es imposible. El desarrollo anterior es el que pide el ejercicio y el que se sigue de las relaciones dadas, pero el enunciado es incoherente.