Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Se tienen tres cajas. En la caja A hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. En la caja B, 6 dados negros y 2 dados rojos, y en la caja C, 2 dados negros y 4 dados rojos. El suceso consiste en sacar una bola y un dado. En primer lugar se extrae al azar una bola de la caja A. Si es negra, se extrae al azar un dado de la caja B pero, si la bola es roja, se extrae al azar un dado de la caja C. Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos sin relación entre ellos:

a) La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos. [0,75 puntos]

b) La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color. [0,75 puntos]

c) La probabilidad de que el dado sea rojo. [1 punto]

Nombramos los sucesos según el color de la bola y el del dado:

$N \equiv$ la bola extraída de la caja A es negra

$R \equiv$ la bola extraída de la caja A es roja

$n \equiv$ el dado extraído es negro; $j \equiv$ el dado extraído es rojo

La primera etapa es la extracción de la bola en la caja A, que tiene 4 negras y 6 rojas.

$P(N)=\dfrac{4}{10}=0{,}4, \qquad P(R)=\dfrac{6}{10}=0{,}6$

Si la bola es negra se va a la caja B (6 dados negros y 2 rojos); si es roja, a la caja C (2 negros y 4 rojos).

$P(n|N)=\dfrac{6}{8}, \quad P(j|N)=\dfrac{2}{8}; \qquad P(n|R)=\dfrac{2}{6}, \quad P(j|R)=\dfrac{4}{6}$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos. [0,75 puntos]}$

Se piden las dos cosas a la vez, así que es la probabilidad de una intersección: un único camino del árbol.

$P(R\cap j)=P(R)\cdot P(j|R)=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{6}=\dfrac{4}{10}=0{,}4$

La probabilidad de que la bola y el dado sean rojos es $0{,}4$, es decir, un $40\%$.

$\textbf{b) La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color. [0,75 puntos]}$

Que sean del mismo color se cumple de dos formas incompatibles: los dos negros o los dos rojos. Sumamos los dos caminos correspondientes.

$P(\text{mismo color})=P(N\cap n)+P(R\cap j)$

$=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{6}{8}+\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{6}=\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{10}=\dfrac{7}{10}=0{,}7$

La probabilidad de que la bola y el dado sean del mismo color es $0{,}7$, es decir, un $70\%$.

$\textbf{c) La probabilidad de que el dado sea rojo. [1 punto]}$

Ahora no importa el color de la bola, de modo que los sucesos $N$ y $R$ forman un sistema completo y aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(j)=P(N)\cdot P(j|N)+P(R)\cdot P(j|R)$

$P(j)=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{2}{8}+\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{4}{6}$

$P(j)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{4}{10}=\dfrac{5}{10}=0{,}5$

La probabilidad de que el dado sea rojo es $0{,}5$, es decir, un $50\%$.