Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En un edificio hay dos ascensores. Cada vecino, cuando utiliza el ascensor, lo hace en el primero el 60 % de las veces y en el segundo el 40 %. El porcentaje de fallos del primer ascensor es del 3 % y del segundo es del 8 %.

a) Un vecino usa un ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que el ascensor falle? [1,25 puntos]

b) Otro día, un vecino coge un ascensor y le falla. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo? [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$A_{1} \equiv$ el vecino usa el primer ascensor

$A_{2} \equiv$ el vecino usa el segundo ascensor

$F \equiv$ el ascensor falla

Los datos del enunciado son una probabilidad inicial para cada ascensor y su porcentaje de fallos, que es una probabilidad condicionada.

$P(A_{1})=0{,}60, \qquad P(A_{2})=0{,}40$

$P(F|A_{1})=0{,}03, \qquad P(F|A_{2})=0{,}08$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) Un vecino usa un ascensor. ¿Cuál es la probabilidad de que el ascensor falle? [1,25 puntos]}$

Los dos ascensores forman un sistema completo de sucesos, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos que terminan en $F$.

$P(F)=P(A_{1})\cdot P(F|A_{1})+P(A_{2})\cdot P(F|A_{2})$

$P(F)=0{,}60\cdot0{,}03+0{,}40\cdot0{,}08$

$P(F)=0{,}018+0{,}032=0{,}05$

La probabilidad de que el ascensor falle es $0{,}05$, es decir, un $5\%$.

$\textbf{b) Otro día, un vecino coge un ascensor y le falla. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo? [1,25 puntos]}$

Se conoce el resultado y se pregunta por cuál de los dos ascensores era, de modo que se trata de una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(A_{2}|F)=\dfrac{P(A_{2})\cdot P(F|A_{2})}{P(F)}$

$P(A_{2}|F)=\dfrac{0{,}40\cdot0{,}08}{0{,}05}=\dfrac{0{,}032}{0{,}05}$

$P(A_{2}|F)=0{,}64$

Si el ascensor ha fallado, la probabilidad de que fuese el segundo es $0{,}64$, es decir, un $64\%$: bastante más que el $40\%$ de veces que se usa, porque falla casi el triple que el primero.