Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

En una oficina del ayuntamiento se asigna un número a cada persona que entra. Se observa que el 70 % de las personas que entran son mujeres. El 40 % de los hombres y el 30 % de las mujeres que entran son menores de 30 años.

a) Calcule la probabilidad de que un número sea asignado a una persona menor de 30 años. [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un número sea asignado a un hombre que no tiene menos de 30 años? [0,5 puntos]

c) Si la persona a la que se le ha asignado un número no tiene menos de 30 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$H \equiv$ la persona es un hombre; $M \equiv$ la persona es una mujer

$J \equiv$ la persona es menor de 30 años

El porcentaje de hombres se obtiene por diferencia, ya que toda persona que entra es hombre o mujer.

$P(M)=0{,}70, \qquad P(H)=1-0{,}70=0{,}30$

$P(J|H)=0{,}40, \qquad P(J|M)=0{,}30$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un número sea asignado a una persona menor de 30 años. [0,75 puntos]}$

Hombres y mujeres forman un sistema completo de sucesos, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos que terminan en $J$.

$P(J)=P(H)\cdot P(J|H)+P(M)\cdot P(J|M)$

$P(J)=0{,}30\cdot0{,}40+0{,}70\cdot0{,}30$

$P(J)=0{,}12+0{,}21=0{,}33$

La probabilidad de que el número se asigne a una persona menor de 30 años es $0{,}33$, es decir, un $33\%$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que un número sea asignado a un hombre que no tiene menos de 30 años? [0,5 puntos]}$

Aquí no hay ninguna condición: se piden las dos cosas a la vez, así que es la probabilidad de la intersección, que en el árbol es un camino completo.

$P\left(H\cap\overline{J}\right)=P(H)\cdot P(\overline{J}|H)=0{,}30\cdot0{,}60=0{,}18$

La probabilidad de que el número se asigne a un hombre de 30 años o más es $0{,}18$, es decir, un $18\%$.

$\textbf{c) Si la persona a la que se le ha asignado un número no tiene menos de 30 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? [1,25 puntos]}$

Ahora sí hay condición: se sabe la edad y se pregunta por el sexo, de modo que es una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P\left(H|\overline{J}\right)=\dfrac{P\left(H\cap\overline{J}\right)}{P\left(\overline{J}\right)}$

El denominador es el complementario del apartado a):

$P\left(\overline{J}\right)=1-P(J)=1-0{,}33=0{,}67$

El numerador está calculado en el apartado b):

$P\left(H|\overline{J}\right)=\dfrac{0{,}18}{0{,}67}=\dfrac{18}{67}\approx0{,}2687$

Si la persona tiene 30 años o más, la probabilidad de que sea hombre es $0{,}2687$, es decir, un $26{,}87\%$: algo por debajo del $30\%$ de hombres que entran, porque entre ellos hay una proporción mayor de menores de 30 años.