Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Una imprenta compra la tinta a dos empresas distintas. En la empresa A compra el 60 % de sus pedidos, y el resto a la empresa B. Se observa que el 1,6 % de las cajas de tinta de la empresa A llegan con defecto, mientras que de la empresa B sólo el 0,9 % son defectuosas. Se toma una caja al azar:

a) Calcule la probabilidad de que la caja sea defectuosa. [1,25 puntos]

b) Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A. [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$A \equiv$ la caja procede de la empresa A

$B \equiv$ la caja procede de la empresa B

$D \equiv$ la caja llega con defecto

El porcentaje de la empresa B se obtiene por diferencia, porque toda la tinta se compra a una de las dos.

$P(A)=0{,}60, \qquad P(B)=1-0{,}60=0{,}40$

$P(D|A)=0{,}016, \qquad P(D|B)=0{,}009$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la caja sea defectuosa. [1,25 puntos]}$

Las dos empresas forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos que terminan en $D$.

$P(D)=P(A)\cdot P(D|A)+P(B)\cdot P(D|B)$

$P(D)=0{,}60\cdot0{,}016+0{,}40\cdot0{,}009$

$P(D)=0{,}0096+0{,}0036=0{,}0132$

La probabilidad de que la caja elegida sea defectuosa es $0{,}0132$, es decir, un $1{,}32\%$.

$\textbf{b) Si la caja seleccionada no es defectuosa, calcule la probabilidad de que se haya comprado a la empresa A. [1,25 puntos]}$

Se conoce el estado de la caja y se pregunta por su procedencia, de modo que es una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(A|\overline{D})=\dfrac{P(A)\cdot P(\overline{D}|A)}{P(\overline{D})}$

El denominador es el complementario de lo calculado en el apartado anterior:

$P(\overline{D})=1-0{,}0132=0{,}9868$

El numerador es el camino que pasa por $A$ y termina en $\overline{D}$:

$P(A\cap\overline{D})=0{,}60\cdot0{,}984=0{,}5904$

$P(A|\overline{D})=\dfrac{0{,}5904}{0{,}9868}\approx0{,}5983$

Si la caja no es defectuosa, la probabilidad de que proceda de la empresa A es $0{,}5983$, es decir, un $59{,}83\%$: apenas por debajo del $60\%$ de partida, porque las dos tasas de defectos son muy pequeñas y parecidas.