Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

En un instituto el 55 % de los estudiantes del curso 2023-2024 hacen el Bachillerato de la modalidad de Ciencias y Tecnología. El 30 % de los estudiantes que cursan el Bachillerato de Ciencias y Tecnología cursan como optativa la asignatura «Proyecto de Investigación Integrado» y, de los que no hacen este Bachillerato, el 40 % cursan esta asignatura como optativa.

a) Tomado un estudiante al azar del total de matriculados en Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que curse la asignatura «Proyecto de Investigación Integrado»? [1,25 puntos]

b) Si un estudiante elegido al azar no cursa la asignatura «Proyecto de Investigación Integrado», ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología? [1,25 puntos]

Nombramos los sucesos:

$C \equiv$ cursar el Bachillerato de Ciencias y Tecnología

$P \equiv$ cursar la optativa «Proyecto de Investigación Integrado»

Los datos del enunciado son una probabilidad inicial y dos condicionadas, la estructura propia de un experimento en dos etapas.

$P(C)=0{,}55, \qquad P(\overline{C})=0{,}45$

$P(P|C)=0{,}30, \qquad P(P|\overline{C})=0{,}40$

El árbol del problema es:



$\textbf{a) Tomado un estudiante al azar del total de matriculados en Bachillerato, ¿cuál es la probabilidad de que curse la asignatura «Proyecto de Investigación Integrado»? [1,25 puntos]}$

Los sucesos $C$ y $\overline{C}$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando los dos caminos del árbol que terminan en $P$.

$P(P)=P(C)\cdot P(P|C)+P(\overline{C})\cdot P(P|\overline{C})$

$P(P)=0{,}55\cdot0{,}30+0{,}45\cdot0{,}40$

$P(P)=0{,}165+0{,}18=0{,}345$

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar curse la optativa es $0{,}345$, es decir, un $34{,}5\%$.

$\textbf{b) Si un estudiante elegido al azar no cursa la asignatura «Proyecto de Investigación Integrado», ¿cuál es la probabilidad de que curse el Bachillerato de Ciencias y Tecnología? [1,25 puntos]}$

Se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, de modo que es una probabilidad a posteriori y se aplica el teorema de Bayes.

$P(C|\overline{P})=\dfrac{P(C)\cdot P(\overline{P}|C)}{P(\overline{P})}$

El denominador es el complementario de lo obtenido en el apartado anterior:

$P(\overline{P})=1-P(P)=1-0{,}345=0{,}655$

El numerador es el camino del árbol que pasa por $C$ y termina en $\overline{P}$:

$P(C\cap\overline{P})=0{,}55\cdot0{,}70=0{,}385$

$P(C|\overline{P})=\dfrac{0{,}385}{0{,}655}=\dfrac{77}{131}\approx0{,}5878$

Si el estudiante no cursa la optativa, la probabilidad de que estudie el Bachillerato de Ciencias y Tecnología es $0{,}5878$, es decir, un $58{,}78\%$.