Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2026

La actividad radiactiva de una muestra de ${10}^{21}$ átomos desciende al 40 % al cabo de 265 días. Calcule: [2,5 puntos]

a) La constante de desintegración de la muestra. [0,75 puntos]

b) El periodo de semidesintegración de la muestra. [0,75 puntos]

c) El tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad de la muestra sea de ${10}^6$ Bq. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La actividad de una muestra radiactiva decae exponencialmente según la ley de desintegración:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$





El enunciado dice que la actividad baja al $40\mathrm{\%}$ de la inicial en $265$ días, es decir, $A=\mathrm{0,40}{A}_0$:

$\mathrm{0,40}{A}_0=A_0{e}^{-\lambda \cdot 265}$

Se toman logaritmos neperianos y se despeja la constante de desintegración:

$\ln \mathrm{0,40}=-\lambda \cdot 265\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,5}}{265}}$

$\lambda =\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-3}{\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-3}}{24\cdot 3600}}=\mathrm{4,00}\cdot {10}^{-8}{\text{s}}^{-1}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{semidesintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos de la muestra, y se relaciona con la constante de desintegración por:

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\mathrm{3,46}\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{200,5}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}$

Es decir, poco más de medio año, unos $\mathrm{1,73}\cdot {10}^7\text{ s}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">6</mn></msup>}\mathbf{\text{Bq.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La actividad inicial es proporcional al número de núcleos presentes al principio:

$A_0=\lambda N_0=\mathrm{4,00}\cdot {10}^{-8}\cdot {10}^{21}=\mathrm{4,00}\cdot {10}^{13}\text{ Bq}$

Se aplica de nuevo la ley de desintegración, ahora para llegar a $A={10}^6\text{ Bq}$:

${10}^6=\mathrm{4,00}\cdot {10}^{13}{e}^{-\lambda t}$

$\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{4,00}\cdot {10}^{13}}{{10}^6}}=\lambda t\Rightarrow t={\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{4,00}\cdot {10}^7)}{\mathrm{4,00}\cdot {10}^{-8}}}$

$t=\mathrm{4,37}\cdot {10}^8\text{ s}$

Han de transcurrir $\mathrm{4,37}\cdot {10}^8\text{ s}$, es decir, unos $\mathrm{5,06}\cdot {10}^3$ días, algo menos de catorce años.