Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Dos masas puntuales idénticas de valor $m_1=m_2=10\text{ kg}$ se encuentran situadas en los puntos $P_1(0,0)$ m y $P_2(0,10)$ m respectivamente del plano $xy$. [2,5 puntos]

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a las masas $m_1$ y $m_2$ en el punto $(5,5)$ m. [1 punto]

b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por $m_1$ y $m_2$ para transportar una masa puntual $m_3=1\text{ kg}$ desde el punto $(5,5)$ m al punto $(0,5)$ m. [1 punto]

c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

El campo gravitatorio que crea una masa puntual apunta siempre hacia ella:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{m}{r^2}}{\vec{u}}_r$

donde ${\vec{u}}_r$ es el vector unitario que va de la masa al punto considerado.





Se calculan primero las distancias desde cada masa hasta el punto $P(5,5)$ m:

$\overrightarrow{r_1}=(5,5)-(0,0)=(5,5)\text{ m}\Rightarrow r_1=\sqrt{5^2+5^2}=\mathrm{7,07}\text{ m}$

$\overrightarrow{r_2}=(5,5)-(0,10)=(5,-5)\text{ m}\Rightarrow r_2=\mathrm{7,07}\text{ m}$

Las dos distancias son iguales y las dos masas también, de modo que ambos campos tienen el mismo módulo:

$g_1=g_2=G{\displaystyle \frac{m}{r^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{10}{50}}=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-11}\text{ N/kg}$

Cada campo apunta desde $P$ hacia su masa, formando ${45}^{\circ }$ con la horizontal:

${\vec{g}}_1=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{(-5,-5)}{\mathrm{7,07}}}=(-\mathrm{9,43}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{9,43}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-12}\text{ N/kg}$

${\vec{g}}_2=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{(-5,5)}{\mathrm{7,07}}}=(-\mathrm{9,43}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{9,43}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-12}\text{ N/kg}$

Por el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los dos:

${\vec{g}}_P={\vec{g}}_1+{\vec{g}}_2=-\mathrm{1,89}\cdot {10}^{-11}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/kg}$

Las componentes verticales se cancelan porque $P$ equidista de las dos masas, y el campo resultante es horizontal, de módulo $\mathrm{1,89}\cdot {10}^{-11}\text{ N/kg}$ y dirigido hacia el eje $Y$, tal y como muestra la figura.



El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo que realiza no depende del camino y se calcula con la diferencia de potencial entre los extremos:

$W=m_3(V_A-V_B)$

El potencial que crean las dos masas en un punto es la suma escalar de los que crea cada una:

$V=-G({\displaystyle \frac{m_1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{m_2}{r_2}})$

En el punto de partida $A(5,5)$ m, con $r_1=r_2=\mathrm{7,07}\text{ m}$:

$V_A=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot 10}{\mathrm{7,07}}}=-\mathrm{1,89}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$

En el punto de llegada $B(0,5)$ m, que está sobre el segmento que une las dos masas y a $5\text{ m}$ de cada una:

$V_B=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{10}{5}}+{\displaystyle \frac{10}{5}})=-\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$

Por tanto:

$W=1\cdot (-\mathrm{1,89}\cdot {10}^{-10}+\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-10})=\mathrm{7,81}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

El campo gravitatorio realiza un trabajo de $\mathrm{7,81}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$ sobre la masa $m_3$ en ese desplazamiento.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{brevemente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{significado}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{b).}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El trabajo sale positivo porque la masa se desplaza hacia una región de menor potencial gravitatorio, es decir, se acerca a las masas que la atraen. La fuerza y el desplazamiento forman un ángulo menor de ${90}^{\circ }$ y el campo empuja a $m_3$ a favor del movimiento.

Ese desplazamiento es espontáneo: no hace falta ningún agente externo, y la energía potencial que pierde la masa aparece como energía cinética.