Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite artificial de 1 500 kg de masa describe una órbita de trayectoria circular en torno a la Tierra con un radio de $\mathrm{3,5}\cdot {10}^4\text{ m}$. Calcule:

a) ¿Cuál es el valor de la gravedad a dicha altura? [1 punto]

b) ¿Con qué velocidad angular viaja el satélite? [0,5 puntos]

c) La relación del peso del satélite en un punto de la órbita respecto a su peso en la superficie de la Tierra. [0,5 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; $R_T=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{altura?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La intensidad del campo gravitatorio creado por la Tierra a una distancia $r$ de su centro es:

$g=G\frac{M_T}{r^2}$

El enunciado da directamente el radio de la órbita, $r=\mathrm{3,5}\cdot {10}^4\text{ m}$, que es la distancia al centro de la Tierra.





$g=\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{3,5}\cdot {10}^4{)}^2}=\frac{\mathrm{3,98}\cdot {10}^{14}}{\mathrm{1,225}\cdot {10}^9}$

$g=\mathrm{3,25}\cdot {10}^5\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{viaja}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton con la aceleración centrípeta escrita en función de la velocidad angular:

$G\frac{M_{T}m}{r^2}=m{\omega }^{2}r\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{G{M}_T}{r^3}}$

$\omega =\sqrt{\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{3,5}\cdot {10}^4{)}^3}}=\sqrt{\frac{\mathrm{3,98}\cdot {10}^{14}}{\mathrm{4,29}\cdot {10}^{13}}}$

$\omega =\mathrm{3,05}\text{ rad}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad angular no depende de la masa del satélite, que se simplifica en la ecuación.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El peso es el producto de la masa por la intensidad del campo, y la masa del satélite es la misma en los dos sitios, así que la relación de pesos es la relación de gravedades:

$\frac{P_r}{P_0}=\frac{m{g}_r}{m{g}_0}=\frac{G{M}_T\mathrm{/}{r}^2}{G{M}_T\mathrm{/}{R}_T^2}={\left(\frac{R_T}{r}\right)}^2$

$\frac{P_r}{P_0}={\left(\frac{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}{\mathrm{3,5}\cdot {10}^4}\right)}^2=(182{)}^2$

$\frac{P_r}{P_0}=\mathrm{3,31}\cdot {10}^4$

El satélite pesaría en la órbita unas $33100$ veces más que en la superficie terrestre. El resultado, igual que la gravedad del apartado a), es consecuencia de que el radio orbital que da el enunciado, $\mathrm{3,5}\cdot {10}^4\text{ m}$, es unas $182$ veces menor que el radio de la Tierra: el punto quedaría dentro del planeta y no puede corresponder a ninguna órbita real. Los cálculos se han hecho, como es obligado, con el dato tal y como aparece en el enunciado.