Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

La masa de un cuerpo es de 100 kg sobre la superficie de Marte, donde la intensidad del campo gravitatorio es de $\mathrm{3,7}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$.

a) ¿Cuál es el peso de dicho cuerpo sobre la superficie de un planeta de igual masa que la de Marte, pero con la mitad de su radio? [1 punto]

b) ¿Cuál sería el nuevo peso del cuerpo si se encuentra sobre la superficie de un tercer planeta de igual radio que Marte, pero con la tercera parte de la masa de este? [1 punto]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{radio?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta depende de su masa y de su radio según:

$g=G\frac{M}{R^2}$

La masa del cuerpo, $100\text{ kg}$, es la misma en todas partes: lo que cambia de un planeta a otro es $g$.





El nuevo planeta tiene la misma masa que Marte pero la mitad de su radio:

$g^{\mathrm{\prime }}=G\frac{M}{(R\mathrm{/}2{)}^2}=4G\frac{M}{R^2}=4g_{\text{Marte}}$

$g^{\mathrm{\prime }}=4\cdot \mathrm{3,7}=\mathrm{14,8}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

Y el peso del cuerpo sobre su superficie:

$P^{\mathrm{\prime }}=m{g}^{\mathrm{\prime }}=100\cdot \mathrm{14,8}$

$P^{\mathrm{\prime }}=1480\text{ N}$

Al reducir el radio a la mitad sin cambiar la masa, la gravedad se cuadruplica y el peso también: $1480\text{ N}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{Marte,}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el radio no cambia y la masa se divide por tres, de modo que la gravedad se divide por tres, porque es directamente proporcional a la masa:

$g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=G\frac{M\mathrm{/}3}{R^2}=\frac{g_{\text{Marte}}}{3}=\frac{\mathrm{3,7}}{3}=\mathrm{1,23}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=m{g}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=100\cdot \mathrm{1,23}$

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\mathrm{123,3}\text{ N}$

El cuerpo pesaría $\mathrm{123,3}\text{ N}$ sobre ese tercer planeta, la tercera parte de lo que pesa en Marte. Los dos apartados muestran que el radio influye mucho más que la masa: aparece elevado al cuadrado.