Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Dos partículas puntuales con masas $m_1=5\text{ kg}$ y $m_2=20\text{ kg}$ se hallan situadas a lo largo del eje $X$. La partícula de masa $m_1$ se encuentra en el origen de coordenadas, $x_1=0$, mientras que la masa $m_2$ está en el punto $x_2=6\text{ m}$.

a) Determine el punto del eje $X$ en el que se anula el campo gravitatorio. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio debido al sistema de masas en los puntos del eje $X$ situados en las coordenadas $x_A=-1\text{ m}$ y $x_B=7\text{ m}$. [1 punto]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{X}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El campo gravitatorio creado por una masa puntual es $\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{m}{r^2}}{\vec{u}}_r$ y siempre apunta hacia la masa que lo crea. Por el principio de superposición, el campo total es la suma de los dos.

Para que se anulen tienen que ser opuestos, y eso solo ocurre en el segmento comprendido entre las dos partículas: a la izquierda de $m_1$ los dos campos apuntan hacia la derecha y a la derecha de $m_2$ los dos apuntan hacia la izquierda, de modo que en esas regiones nunca pueden cancelarse.



Llamando $x$ a la distancia desde $m_1$, la condición de campo nulo es:

$G\frac{m_1}{x^2}=G\frac{m_2}{(6-x{)}^2}$

$\frac{5}{x^2}=\frac{20}{(6-x{)}^2}\Rightarrow (6-x{)}^2=4x^2$

$6-x=2x\Rightarrow x=2\text{ m}$

Se descarta la raíz $6-x=-2x$, que da $x=-6\text{ m}$, por caer fuera del segmento.

El campo gravitatorio se anula en el punto $(2,0)\text{ m}$, a $2\text{ m}$ de la masa pequeña y a $4\text{ m}$ de la grande.



El potencial gravitatorio es una magnitud escalar, así que las contribuciones de las dos masas se suman directamente:

$V=-G\frac{m_1}{r_1}-G\frac{m_2}{r_2}$

En el punto $x_A=-1\text{ m}$ las distancias son $r_1=1\text{ m}$ y $r_2=7\text{ m}$:

$V_A=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}(\frac{5}{1}+\frac{20}{7})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,86}$

$V_A=-\mathrm{5,24}\cdot {10}^{-10}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

En el punto $x_B=7\text{ m}$ las distancias son $r_1=7\text{ m}$ y $r_2=1\text{ m}$:

$V_B=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}(\frac{5}{7}+\frac{20}{1})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{20,71}$

$V_B=-\mathrm{1,38}\cdot {10}^{-9}\text{ J}\cdot {\text{kg}}^{-1}$

Los dos potenciales son negativos, como corresponde a un campo solo atractivo con el origen de potenciales en el infinito. El de $B$ es más negativo porque ese punto está mucho más cerca de la masa grande, que es la que domina.