Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite artificial de 800 kg de masa orbita alrededor de un planeta describiendo una trayectoria circular a una altura de 12 000 km medida desde su superficie. El planeta tiene un radio $R_P=\mathrm{2,56}\cdot {10}^6\text{ m}$ y su masa es $M_P=\mathrm{8,45}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$. Si el satélite se lanza desde la superficie de dicho planeta, calcule:

a) la energía cinética que se debe proporcionar al satélite en la superficie del planeta para situarlo en la órbita. [1 punto]

b) la velocidad mínima que habría que suministrar al satélite una vez en órbita, para que escape de la atracción gravitatoria del planeta desde un punto cualquiera de la órbita circular actual. [1 punto]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{proporcionar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{situarlo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta:

$r=R_P+h=\mathrm{2,56}\cdot {10}^6+\mathrm{1,2}\cdot {10}^7=\mathrm{1,456}\cdot {10}^7\text{ m}$

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es la mitad de su energía potencial, porque en la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$G\frac{M_{P}m}{r^2}=\frac{m{v}^2}{r}\Rightarrow E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{G{M}_{P}m}{2r}$





$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=E_c+E_p=\frac{G{M}_{P}m}{2r}-\frac{G{M}_{P}m}{r}=-\frac{G{M}_{P}m}{2r}$

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,45}\cdot {10}^{22}\cdot 800}{2\cdot \mathrm{1,456}\cdot {10}^7}=-\mathrm{1,55}\cdot {10}^8\text{ J}$

En la superficie el satélite está en reposo, de modo que toda su energía es potencial:

$E_{\text{superficie}}=-\frac{G{M}_{P}m}{R_P}=-\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,45}\cdot {10}^{22}\cdot 800}{\mathrm{2,56}\cdot {10}^6}$

$E_{\text{superficie}}=-\mathrm{1,76}\cdot {10}^9\text{ J}$

La energía cinética que hay que comunicarle es la diferencia entre las dos energías mecánicas:

$E_c^{\text{aportada}}=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}=-\mathrm{1,55}\cdot {10}^8+\mathrm{1,76}\cdot {10}^9$

$E_c^{\text{aportada}}=\mathrm{1,61}\cdot {10}^9\text{ J}$

Hay que proporcionar al satélite $\mathrm{1,61}\cdot {10}^9\text{ J}$ en la superficie del planeta.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{suministrar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{cualquiera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{actual.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, tener energía mecánica cero. Como el campo es conservativo:

$-G\frac{M_{P}m}{r}+\frac{1}{2}m{v}_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2G{M}_P}{r}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,45}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{1,456}\cdot {10}^7}}=\mathrm{8,80}\cdot {10}^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

Pero el satélite no está en reposo: ya recorre la órbita con la velocidad orbital

$v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{G{M}_P}{r}}=\sqrt{\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,45}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{1,456}\cdot {10}^7}}=\mathrm{6,22}\cdot {10}^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

de manera que la velocidad que hay que suministrarle es el incremento necesario para pasar de una a otra:

$\mathrm{\Delta }v=v_{\text{esc}}-v_{\text{orb}}=880-622=\mathrm{2,58}\cdot {10}^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad de escape desde la órbita es de $\mathrm{8,80}\cdot {10}^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$, y basta suministrar al satélite un incremento de $\mathrm{2,58}\cdot {10}^2\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$ sobre la velocidad que ya lleva. Obsérvese que la velocidad de escape es $\sqrt{2}$ veces la orbital, sea cual sea el radio de la órbita.