Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite artificial describe una órbita circular a una altura de 20 000 km alrededor de un planeta que tiene un radio de 5 000 km y aceleración de la gravedad en su superficie de $\mathrm{8,2}\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2}$.

a) Calcule la masa del planeta. [0,5 puntos]

b) Determine la velocidad mínima de lanzamiento del satélite desde la superficie del planeta para alcanzar dicha órbita. [1 punto]

c) Calcule la velocidad orbital y el período de la órbita del satélite alrededor del planeta. [0,5 puntos]

Dato: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La gravedad en la superficie es el campo creado por el planeta a una distancia igual a su radio:

$g_0=G\frac{M}{R^2}\Rightarrow M=\frac{g_0{R}^2}{G}$

Con $R=5000\text{ km}=\mathrm{5,0}\cdot {10}^6\text{ m}$:

$M=\frac{\mathrm{8,2}\cdot (\mathrm{5,0}\cdot {10}^6{)}^2}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}}=\mathrm{3,07}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$

La masa del planeta es $\mathrm{3,07}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lanzamiento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta:

$r=R+h=\mathrm{5,0}\cdot {10}^6+\mathrm{2,0}\cdot {10}^7=\mathrm{2,5}\cdot {10}^7\text{ m}$

La velocidad de lanzamiento o de satelización es la que hay que comunicar al satélite en la superficie para que llegue a la órbita con la velocidad orbital, no solo para alcanzar esa altura. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, se conserva la energía mecánica entre la superficie y la órbita.





$-G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m{v}_{\text{sat}}^2=-G\frac{Mm}{r}+\frac{1}{2}m{v}_{\text{orb}}^2$

En la órbita la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta, y por la segunda ley de Newton:

$G\frac{Mm}{r^2}=\frac{m{v}_{\text{orb}}^2}{r}\Rightarrow v_{\text{orb}}^2=\frac{GM}{r}$

Sustituyendo y simplificando la masa del satélite:

$\frac{1}{2}{v}_{\text{sat}}^2=G\frac{M}{R}-G\frac{M}{r}+\frac{1}{2}\frac{GM}{r}=G\frac{M}{R}-\frac{1}{2}\frac{GM}{r}$

$v_{\text{sat}}=\sqrt{2GM(\frac{1}{R}-\frac{1}{2r})}$

$v_{\text{sat}}=\sqrt{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{3,07}\cdot {10}^{24}(\frac{1}{\mathrm{5,0}\cdot {10}^6}-\frac{1}{2\cdot \mathrm{2,5}\cdot {10}^7})}$

$v_{\text{sat}}=\mathrm{8,59}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}=\mathrm{8,59}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$

La velocidad mínima de lanzamiento es de $\mathrm{8,59}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad orbital se obtiene de la expresión deducida en el apartado anterior:

$v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{3,07}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{2,5}\cdot {10}^7}}$

$v_{\text{orb}}=\mathrm{2,86}\cdot {10}^3\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$

El movimiento es circular uniforme, de modo que el período es la longitud de la órbita dividida entre la velocidad:

$T=\frac{2\pi r}{v_{\text{orb}}}=\frac{2\pi \cdot \mathrm{2,5}\cdot {10}^7}{\mathrm{2,86}\cdot {10}^3}$

$T=\mathrm{5,49}\cdot {10}^4\text{ s}=\mathrm{15,2}\text{ h}$

El satélite orbita a $\mathrm{2,86}\text{ km}\cdot {\text{s}}^{-1}$ y tarda $\mathrm{15,2}$ horas en dar una vuelta completa.