Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cantabria · 2025

En un laboratorio de preparación de radiofármacos se rompe accidentalmente el contenedor de una solución de ${}^{68}\text{Ga}$ (vida media $\tau =\mathrm{67,7}$ minutos), vertiéndose una muestra con una actividad de 246 MBq. Calcule: [2,5 puntos]

a) La constante de desintegración del ${}^{68}\text{Ga}$. [0,5 puntos]

b) La masa vertida de ${}^{68}\text{Ga}$. [1 punto]

c) El tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad se reduzca a 35 kBq. [1 punto]

Datos: masa molar del ${}^{68}\text{Ga}$, $M_{Ga}=\mathrm{67,9}\text{ g}\cdot {\text{mol}}^{-1}$; número de Avogadro, $N_A=\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}{\text{mol}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">68</mn></msup><mtext>Ga</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La vida media $\tau$ es el tiempo que por término medio tarda un núcleo en desintegrarse, y es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau ={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$





Se pasa la vida media a segundos y se despeja:

$\tau =\mathrm{67,7}\text{ min}\cdot 60{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{min}}}=\mathrm{4,06}\cdot {10}^3\text{ s}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,06}\cdot {10}^3}}=\mathrm{2,46}\cdot {10}^{-4}{\text{s}}^{-1}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{vertida}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mrow></mrow><mn\; mathvariant="bold">68</mn></msup><mtext>Ga</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos radiactivos que contiene:

$A=\lambda N$

Se despeja el número de núcleos, con la actividad en becquerelios:

$A=246\text{ MBq}=\mathrm{2,46}\cdot {10}^8\text{ Bq}$

$N={\displaystyle \frac{A}{\lambda }}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,46}\cdot {10}^8}{\mathrm{2,46}\cdot {10}^{-4}}}=\mathrm{9,99}\cdot {10}^{11}\text{n}\acute{\text{u}}\text{cleos}$

Ese número de núcleos corresponde a la cantidad de sustancia:

$n={\displaystyle \frac{N}{N_A}}={\displaystyle \frac{\mathrm{9,99}\cdot {10}^{11}}{\mathrm{6,02}\cdot {10}^{23}}}=\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-12}\text{ mol}$

Y con la masa molar del isótopo se obtiene la masa vertida:

$m=n{M}_{Ga}=\mathrm{1,66}\cdot {10}^{-12}\cdot \mathrm{67,9}=\mathrm{1,13}\cdot {10}^{-10}\text{ g}$

Se han vertido $\mathrm{1,13}\cdot {10}^{-10}\text{ g}$ de galio-68, es decir, poco más de una décima de nanogramo: una actividad de cientos de megabecquerelios se consigue con una masa completamente inapreciable.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{transcurrir}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{reduzca}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{kBq.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La actividad decae exponencialmente según la ley de desintegración:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Se sustituyen la actividad inicial y la final, ambas en becquerelios:

$\mathrm{3,5}\cdot {10}^4=\mathrm{2,46}\cdot {10}^8{e}^{-\lambda t}$

Se toman logaritmos neperianos y se despeja el tiempo:

$\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{2,46}\cdot {10}^8}{\mathrm{3,5}\cdot {10}^4}}=\lambda t\Rightarrow t={\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{7,03}\cdot {10}^3)}{\mathrm{2,46}\cdot {10}^{-4}}}$

$t=\mathrm{3,60}\cdot {10}^4\text{ s}$

Han de transcurrir $\mathrm{3,60}\cdot {10}^4\text{ s}$, es decir, unos $600$ minutos: diez horas después del vertido la actividad habrá caído hasta los $35\text{ kBq}$.