Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2025

Con una lente delgada convergente de 5 dioptrías se forma una imagen real, invertida y de tamaño triple que el objeto correspondiente, que es de 4 cm de altura. [2,5 puntos]

a) Calcule la posición en la que está el objeto y la posición en la que se forma la imagen. [0,75 puntos]

Si el objeto se coloca ahora a 50 cm de la lente:

b) Calcule la posición en la que se forma la imagen y justifique su naturaleza (real/virtual, derecha/invertida, mayor/menor). [0,75 puntos]

Para los apartados a) y b):

c) Dibuje el diagrama/trazado de rayos correspondiente. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La potencia de la lente es la inversa de su distancia focal imagen, positiva por ser convergente:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}\text{ m}=20\text{ cm}$

Que la imagen sea real e invertida y de tamaño triple significa que el aumento lateral vale:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-3\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-3s$

Se lleva esta relación a la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{-3s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{20}}$

$-{\displaystyle \frac{4}{3s}}={\displaystyle \frac{1}{20}}\Rightarrow s=-{\displaystyle \frac{80}{3}}=-\mathrm{26,7}\text{ cm}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-3\cdot (-\mathrm{26,7})=\mathrm{80,0}\text{ cm}$

El objeto está a $\mathrm{26,7}\text{ cm}$ a la izquierda de la lente, entre el foco y el doble de la distancia focal, y la imagen se forma a $\mathrm{80,0}\text{ cm}$ a la derecha, con un tamaño de $12\text{ cm}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{naturaleza}}\mathbf{\text{(real/virtual,}}\mathbf{\text{derecha/invertida,}}\mathbf{\text{mayor/menor).}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el objeto está a $50\text{ cm}$ de la lente, es decir, $s=-50\text{ cm}$. Se aplica de nuevo la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{20}}-{\displaystyle \frac{1}{50}}={\displaystyle \frac{3}{100}}$

$s^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{100}{3}}=\mathrm{33,3}\text{ cm}$

El aumento lateral y el tamaño de la imagen valen:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{\mathrm{33,3}}{-50}}=-\mathrm{0,667}$

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=-\mathrm{0,667}\cdot 4=-\mathrm{2,67}\text{ cm}$

La imagen se forma a $\mathrm{33,3}\text{ cm}$ a la derecha de la lente, en el lado opuesto al objeto, así que es real. El aumento es negativo, luego es invertida, y menor que la unidad en valor absoluto, luego es de menor tamaño que el objeto: mide $\mathrm{2,67}\text{ cm}$ frente a los $4\text{ cm}$ del original.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{diagrama/trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En los dos casos se trazan desde el extremo del objeto los tres rayos principales:

i) el rayo paralelo al eje óptico, que tras atravesar la lente pasa por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$;

ii) el rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía;

iii) el rayo que pasa por el foco objeto $F$, que emerge paralelo al eje.

Donde se cortan los tres rayos emergentes está el extremo de la imagen. La primera figura corresponde al apartado a), con el objeto situado entre $F$ y $2F$ e imagen real, invertida y mayor.



La segunda corresponde al apartado b), con el objeto situado más allá de $2F$: la imagen sigue siendo real e invertida, pero ahora es menor que el objeto.