Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2024

Una lámina de material translúcido se halla flotando sobre un líquido de índice de refracción desconocido. Si la longitud de onda de la luz que atraviesa la lámina se reduce a un 60 % de su valor en el aire, calcule:

a) el índice de refracción de la lámina. [0,5 puntos]

b) el índice de refracción del líquido sabiendo que, si se incide con un haz de luz desde el líquido, se observa que los rayos con ángulos $\alpha$ de incidencia superiores a ${60}^{\circ }$ en la cara inferior de la lámina no se refractan al aire por su cara superior. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al pasar la luz de un medio a otro la frecuencia no cambia, pero sí la velocidad de propagación y con ella la longitud de onda:

$v=\frac{c}{n}\lambda =\frac{v}{f}=\frac{c}{nf}=\frac{{\lambda }_0}{n}$

El enunciado dice que dentro de la lámina la longitud de onda se reduce a un $60\mathrm{\%}$ de su valor en el aire:

${\lambda }_{\text{l}\acute{\text{a}}\text{mina}}=\mathrm{0,60}{\lambda }_0=\frac{{\lambda }_0}{n_{\text{l}\acute{\text{a}}\text{mina}}}$

$n_{\text{l}\acute{\text{a}}\text{mina}}=\frac{1}{\mathrm{0,60}}=\mathrm{1,67}$

El índice de refracción de la lámina es $\mathrm{1,67}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quido}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{incide}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{haz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{quido,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{observa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{con}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathit{\alpha }\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{superiores}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">60</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{refractan}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{superior.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El rayo atraviesa dos superficies planas y paralelas. En la primera, líquido-lámina, la ley de Snell da:

$n_{\text{l}\acute{\text{ı}}\text{quido}}\text{sen}\alpha =n_{\text{l}\acute{\text{a}}\text{mina}}\text{sen}r$

Y en la segunda, lámina-aire, el ángulo de incidencia es precisamente $r$:

$n_{\text{l}\acute{\text{a}}\text{mina}}\text{sen}r=n_{\text{aire}}\text{sen}{\widehat{r}}^{\mathrm{\prime }}$





Combinando las dos expresiones, el término de la lámina se cancela:

$n_{\text{l}\acute{\text{ı}}\text{quido}}\text{sen}\alpha =n_{\text{aire}}\text{sen}{\widehat{r}}^{\mathrm{\prime }}$

Es decir, el ángulo con el que el rayo sale al aire no depende del índice de la lámina intermedia: solo del líquido de partida. La lámina desplaza el rayo lateralmente, pero no cambia su dirección de salida.

La condición del enunciado es que $\alpha ={60}^{\circ }$ sea el ángulo límite, aquel para el que el rayo emerge rasante, con ${\widehat{r}}^{\mathrm{\prime }}={90}^{\circ }$:

$n_{\text{l}\acute{\text{ı}}\text{quido}}\text{sen}{60}^{\circ }=1\cdot \text{sen}{90}^{\circ }=1$

$n_{\text{l}\acute{\text{ı}}\text{quido}}=\frac{1}{\text{sen}{60}^{\circ }}=\frac{1}{\mathrm{0,866}}$

$n_{\text{l}\acute{\text{ı}}\text{quido}}=\mathrm{1,15}$

El índice de refracción del líquido es $\mathrm{1,15}$. Se comprueba el resultado por pasos: dentro de la lámina el ángulo límite frente al aire es $\text{sen}r=1\mathrm{/}\mathrm{1,67}$, esto es, $r={\mathrm{36,9}}^{\circ }$, y aplicando Snell en la primera cara, $n_{\text{l}\acute{\text{ı}}\text{quido}}=\mathrm{1,67}\cdot \text{sen}{\mathrm{36,9}}^{\circ }\mathrm{/}\text{sen}{60}^{\circ }=\mathrm{1,15}$, el mismo valor.