Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2023

Una lámina delgada de ámbar de espesor homogéneo $d$ y con índice de refracción $n_{\acute{\text{a}}\text{mbar}}=\mathrm{1,55}$, flota sobre una capa de agua de mayor espesor y con índice de refracción $n_{\text{agua}}=\mathrm{1,33}$, mientras que por encima de la lámina de ámbar se encuentra el aire. Un rayo de luz monocromática de frecuencia $f=7\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ incide desde el agua hacia la lámina de ámbar.

a) Determine las longitudes de onda y frecuencias del rayo incidente en el agua y en el ámbar. [1 punto]

b) Calcule el ángulo de incidencia del rayo incidente sobre la superficie de interfase agua-ámbar para el que se produce reflexión total interna en la superficie de separación ámbar-aire. [1 punto]

Datos: $c=\mathrm{3,0}\cdot {10}^8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$; $n_{\text{aire}}=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{frecuencias}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mbar.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La frecuencia de una onda la impone el foco emisor y no cambia al pasar de un medio a otro, de modo que en los dos medios vale lo mismo:

$f_{\text{agua}}=f_{\acute{\text{a}}\text{mbar}}=f=7\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Lo que cambia es la velocidad de propagación, y con ella la longitud de onda. La longitud de onda en el vacío es:

${\lambda }_0=\frac{c}{f}=\frac{\mathrm{3,0}\cdot {10}^8}{7\cdot {10}^{14}}=\mathrm{4,29}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

Y en un medio de índice $n$ la velocidad es $v=c\mathrm{/}n$, con lo que la longitud de onda se reduce en ese mismo factor:

$\lambda =\frac{v}{f}=\frac{c}{nf}=\frac{{\lambda }_0}{n}$

${\lambda }_{\text{agua}}=\frac{\mathrm{4,29}\cdot {10}^{-7}}{\mathrm{1,33}}=\mathrm{3,22}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=322\text{ nm}$

${\lambda }_{\acute{\text{a}}\text{mbar}}=\frac{\mathrm{4,29}\cdot {10}^{-7}}{\mathrm{1,55}}=\mathrm{2,77}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=277\text{ nm}$

La frecuencia es $7\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ en los dos medios, y la longitud de onda vale $322\text{ nm}$ en el agua y $277\text{ nm}$ en el ámbar: cuanto mayor es el índice de refracción, más corta es la longitud de onda.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{interfase}}\mathbf{\text{agua-}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mbar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{interna}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{separaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mbar-aire.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El fenómeno ocurre en dos etapas. Primero hay que hallar el ángulo límite de la cara superior, la que separa el ámbar del aire:

$n_{\acute{\text{a}}\text{mbar}}\text{sen}\widehat{\lambda }=n_{\text{aire}}\text{sen}{90}^{\circ }$

$\text{sen}\widehat{\lambda }=\frac{1}{\mathrm{1,55}}\Rightarrow \widehat{\lambda }={\mathrm{40,18}}^{\circ }$





Después se aplica la ley de Snell en la cara inferior, la que separa el agua del ámbar. El ángulo de refracción allí es precisamente el ángulo con el que el rayo llega a la cara superior, porque las dos caras de la lámina son paralelas:

$n_{\text{agua}}\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_{\acute{\text{a}}\text{mbar}}\text{sen}\widehat{\lambda }$

$\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=\frac{\mathrm{1,55}\cdot \text{sen}{\mathrm{40,18}}^{\circ }}{\mathrm{1,33}}=\frac{\mathrm{1,55}\cdot \mathrm{0,645}}{\mathrm{1,33}}=\frac{1}{\mathrm{1,33}}$

$\widehat{\mathrm{ı}}=\arcsin \left(\frac{1}{\mathrm{1,33}}\right)={\mathrm{48,75}}^{\circ }$

El ángulo de incidencia buscado es de ${\mathrm{48,75}}^{\circ }$. Obsérvese que las dos ecuaciones encadenadas dejan la expresión $n_{\text{agua}}\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_{\text{aire}}$: al ser las caras de la lámina paralelas, el índice del ámbar se cancela y el ángulo buscado es el ángulo límite entre el agua y el aire, como si la lámina no estuviera.