Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2024

Un sistema óptico consta de una lente delgada convergente cuya distancia focal es de $\mathrm{0,4}\text{ m}$.

a) Determine la distancia a la que debe colocarse un objeto delante de la lente convergente para que se forme una imagen virtual, derecha y con un tamaño el doble del objeto, que tiene 5 cm de altura. [1 punto]

b) Realice la representación gráfica del trazado de rayos correspondiente, identificando los elementos principales de la lente, el objeto y la imagen formada, así como las posiciones de estos. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{colocarse}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{delante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forme}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{virtual,}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{doble}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se emplea el criterio DIN de signos: la luz viaja de izquierda a derecha, la abscisa del objeto $s$ es negativa y la distancia focal imagen de una lente convergente es positiva, $f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,4}\text{ m}$.

Que la imagen sea virtual y derecha, con el doble de tamaño, significa que el aumento lateral es positivo y vale 2:

$\beta =\frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}=\frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}=+2\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=2s$

Se lleva esta relación a la ecuación fundamental de las lentes delgadas:

$\frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}$

$\frac{1}{2s}-\frac{1}{s}=\frac{1}{\mathrm{0,4}}\Rightarrow -\frac{1}{2s}=\mathrm{2,5}$

$s=-\mathrm{0,2}\text{ m}$

$s^{\mathrm{\prime }}=2s=-\mathrm{0,4}\text{ m}$

El objeto debe colocarse a $\mathrm{0,2}\text{ m}$ delante de la lente, es decir, entre el foco objeto y la lente, que es la única posición en la que una lente convergente forma imagen virtual. La imagen se forma $\mathrm{0,4}\text{ m}$ a la izquierda de la lente, en el mismo lado que el objeto, y su tamaño es:

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=2\cdot 5=10\text{ cm}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{representaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente,}}\mathbf{\text{identificando}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{elementos}}\mathbf{\text{principales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{formada,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{posiciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estos.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se trazan desde la punta del objeto los tres rayos principales:

i) El rayo paralelo al eje óptico, que tras refractarse pasa por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$.

ii) El rayo que pasa por el centro óptico $O$, que no se desvía.

iii) El rayo que se dirige al foco objeto $F$, que emerge paralelo al eje óptico.

Los rayos emergentes son divergentes y no llegan a cortarse: quien se corta son sus prolongaciones hacia atrás, dibujadas a trazos. Por eso la imagen es virtual, se forma en el mismo lado que el objeto y no puede recogerse sobre una pantalla.



La imagen obtenida es virtual, derecha y de doble tamaño que el objeto, tal y como pedía el apartado anterior: $s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,4}\text{ m}$ e $y^{\mathrm{\prime }}=10\text{ cm}$.