Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cantabria · 2025

Un rayo de luz monocromático se propaga por el aire con una frecuencia de $5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ y atraviesa un segundo medio de índice de refracción $n_2=\mathrm{1,55}$. [2,5 puntos]

a) Calcule la longitud de onda del rayo cuando se propaga por el aire. [0,75 puntos]

b) Calcule la frecuencia y la longitud de onda del rayo cuando se propaga por el segundo medio. [1 punto]

c) ¿Con qué ángulos debe incidir el rayo si viaja por el segundo medio al volver al aire, para que se obtenga reflexión total? [0,75 puntos]

Datos: índice de refracción del aire, $n_{aire}=1$; velocidad de la luz en el vacío, $c=3\cdot {10}^8\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En el aire la luz se propaga prácticamente a la velocidad que tiene en el vacío, ya que su índice de refracción vale la unidad. Aplicando la ecuación fundamental de las ondas:

$c=\lambda f\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{c}{f}}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{5\cdot {10}^{14}}}=6\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

La longitud de onda en el aire es de $600\text{ nm}$, que corresponde a luz visible de color anaranjado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{propaga}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{medio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La frecuencia la impone el foco que emite la luz y no cambia al pasar de un medio a otro, porque el número de oscilaciones que llegan a la superficie de separación por segundo tiene que ser el mismo que el de las que salen:

$f_2=f_1=5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Lo que sí cambia es la velocidad de propagación, que se obtiene de la definición de índice de refracción:

$n_2={\displaystyle \frac{c}{v_2}}\Rightarrow v_2={\displaystyle \frac{c}{n_2}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,55}}}=\mathrm{1,94}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Y como la frecuencia no varía, la longitud de onda se acorta en la misma proporción:

${\lambda }_2={\displaystyle \frac{v_2}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,94}\cdot {10}^8}{5\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{3,87}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

En el segundo medio la luz viaja a $\mathrm{1,94}\cdot {10}^8\text{ m/s}$ con una longitud de onda de $387\text{ nm}$, manteniendo su frecuencia de $5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulos}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{incidir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{viaja}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{volver}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aire,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Por la ley de Snell, en la superficie de separación de los dos medios se cumple:

$n_2\mathrm{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_{aire}\mathrm{sen}\widehat{r}$

Ahora la luz pasa a un medio menos refringente, de modo que el rayo refractado se aleja de la normal.





Existe un ángulo de incidencia, llamado ángulo límite, para el que el rayo refractado sale rasante a la superficie, es decir, con $\widehat{r}={90}^{\circ }$:

$n_2\mathrm{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L=n_{aire}\mathrm{sen}{90}^{\circ }$

$\mathrm{sen}{\widehat{\mathrm{ı}}}_L={\displaystyle \frac{n_{aire}}{n_2}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,55}}}=\mathrm{0,645}$

${\widehat{\mathrm{ı}}}_L=\mathrm{arcsen}\mathrm{0,645}={\mathrm{40,2}}^{\circ }$

Para ángulos de incidencia mayores que ese, la ley de Snell exigiría un seno mayor que la unidad, lo que es imposible: no hay rayo refractado y toda la luz vuelve al segundo medio.

Se obtiene reflexión total, por tanto, para cualquier ángulo de incidencia igual o mayor que ${\mathrm{40,2}}^{\circ }$. Este es el fenómeno en que se basan las fibras ópticas.