Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Dos masas de 10 kg se hallan situadas en los puntos $(5,0)$ y $(0,5)$ respectivamente. Nota: todas las distancias expresadas en metros.

a) Calcule y represente la fuerza que experimenta una masa de 5 kg, situada en el punto $(0,0)$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo necesario para llevar una masa de 5 kg desde el punto $(0,0)$ al punto $(0,10)$. [1,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{experimenta}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{kg,}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Por la ley de gravitación universal, cada masa atrae a la de 5 kg hacia sí misma:

$F=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$

Las dos masas son iguales y están a la misma distancia del origen, una sobre cada eje.





$F_1=F_2=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{10\cdot 5}{5^2}}$

$F_1=F_2=\mathrm{1,34}\cdot {10}^{-10}\text{ N}$

La primera fuerza apunta hacia la masa situada en $(5,0)$, es decir, hacia $+\vec{\mathrm{ı}}$, y la segunda hacia la situada en $(0,5)$, hacia $+\vec{\mathrm{ȷ}}$:

$\vec{F}=(\mathrm{1,34}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{1,34}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-10}\text{ N}$

$F=\sqrt{2}\cdot \mathrm{1,34}\cdot {10}^{-10}=\mathrm{1,90}\cdot {10}^{-10}\text{ N}$

Por simetría, la resultante forma ${45}^{\circ }$ con los dos ejes y apunta hacia el punto medio del segmento que une las masas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al ser el campo gravitatorio conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales, sin necesidad de conocer el camino:

$V=-GM({\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}})$

En el origen las dos masas están a 5 m:

$V(0,0)=-\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 10({\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}})=-\mathrm{2,68}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$

En el punto $(0,10)$ hay que calcular las distancias:

$r_1=\sqrt{5^2+{10}^2}=\mathrm{11,18}\text{ m}{r}_2=\mathrm{\mid }10-5\mathrm{\mid }=5\text{ m}$

$V(0,10)=-\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 10({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{11,18}}}+{\displaystyle \frac{1}{5}})=-\mathrm{1,94}\cdot {10}^{-10}\text{ J/kg}$

El trabajo que realiza el campo es:

$W_{\text{campo}}=m(V_{\text{ini}}-V_{\text{fin}})=5(-\mathrm{2,68}\cdot {10}^{-10}+\mathrm{1,939}\cdot {10}^{-10})=-\mathrm{3,70}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

Como el enunciado pide el trabajo necesario, es decir, el que hay que realizar desde fuera, se toma el opuesto:

$W=-W_{\text{campo}}=\mathrm{3,70}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

El signo tiene sentido: el punto de llegada está más lejos de las masas, así que el desplazamiento va en contra de la atracción gravitatoria y hay que aportar energía.