Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Dos masas de 5 kg se hallan situadas en los puntos $(-10,0)$ y $(10,0)$ respectivamente. Nota: todas las distancias expresadas en metros.

a) Calcule y represente la fuerza que experimenta una masa de 2 kg, situada en el punto $(0,-5)$. [1 punto]

b) Exprese correctamente el potencial en los puntos $(0,-5)$ y $(0,0)$ debido a las dos masas. Calcule el trabajo realizado por la gravedad para llevar una masa de 2 kg desde el punto $(0,-5)$ al punto $(0,0)$. [1,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{experimenta}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{kg,}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Por la ley de gravitación universal, cada masa atrae a la de 2 kg hacia sí misma:

$F=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$

El punto está en la mediatriz del segmento que une las dos masas, así que dista lo mismo de ambas.





$r=\sqrt{{10}^2+5^2}=\sqrt{125}=\mathrm{11,18}\text{ m}\Rightarrow r^2=125{\text{m}}^2$

$F_1=F_2=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot 2}{125}}=\mathrm{5,36}\cdot {10}^{-12}\text{ N}$

Cada fuerza apunta hacia su masa, con componentes proporcionales a $(\mp 10;5)$. Al sumarlas, las horizontales se cancelan por simetría y las verticales se suman:

$\vec{F}=2F_1\cdot {\displaystyle \frac{5}{\mathrm{11,18}}}\vec{\mathrm{ȷ}}=2\cdot \mathrm{5,36}\cdot {10}^{-12}\cdot \mathrm{0,4472}\vec{\mathrm{ȷ}}$

$\vec{F}=\mathrm{4,79}\cdot {10}^{-12}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N}$

La resultante es vertical y apunta hacia el origen, que es donde está el centro de masas del sistema.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{masas.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llevar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">5</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El potencial es una magnitud escalar y se suman los de las dos masas, que están siempre a la misma distancia de los puntos del eje $y$:

$V=-G{\displaystyle \frac{2M}{r}}$

En el punto $(0,-5)$, con $r=\mathrm{11,18}\text{ m}$:

$V(0,-5)=-\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{10}{\mathrm{11,18}}}$

$V(0,-5)=-\mathrm{5,99}\cdot {10}^{-11}\text{ J/kg}$

En el origen las dos masas están a 10 m:

$V(0,0)=-\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{10}{10}}$

$V(0,0)=-\mathrm{6,70}\cdot {10}^{-11}\text{ J/kg}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales:

$W=m(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})=2(-\mathrm{5,9927}\cdot {10}^{-11}+\mathrm{6,70}\cdot {10}^{-11})$

$W=\mathrm{1,41}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

El trabajo es positivo porque el punto de llegada tiene un potencial más negativo: el desplazamiento se produce espontáneamente, en el sentido en que el campo empuja a la masa.