Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Un satélite artificial gira en una órbita circular a una altura de 500 km sobre la superficie terrestre. [2,5 puntos]

a) Deduzca la expresión para la velocidad del satélite, y calcule su valor. [1 punto]

b) Calcule el periodo orbital del satélite. [1 punto]

c) Compare el valor del campo gravitatorio en la órbita con el correspondiente sobre la superficie terrestre. [0,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra, $R_T=6370\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{valor.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria de la Tierra y, al ser la órbita circular, esa fuerza es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$





Simplificando la masa del satélite se llega a la expresión pedida:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumarle a la altura el radio terrestre:

$r=R_T+h=6370+500=6870\text{ km}=\mathrm{6,87}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,87}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{7,63}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El satélite recorre su órbita a $\mathrm{7,63}\text{ km/s}$, una velocidad que no depende de su masa sino solo del radio de la órbita.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como el movimiento es circular y uniforme, el satélite recorre la circunferencia completa en un periodo:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\Rightarrow T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,87}\cdot {10}^6}{\mathrm{7,63}\cdot {10}^3}}=\mathrm{5,66}\cdot {10}^3\text{ s}$

El periodo es de $\mathrm{5,66}\cdot {10}^3\text{ s}$, es decir, unos $94$ minutos: el satélite da poco más de quince vueltas a la Tierra cada día.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Compare}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El módulo del campo gravitatorio terrestre a una distancia $r$ del centro del planeta vale:

$g=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}$

En la órbita, a $\mathrm{6,87}\cdot {10}^6\text{ m}$ del centro:

$g={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{{(\mathrm{6,87}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{8,48}\text{ N/kg}$

Sobre la superficie, a $\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{ m}$:

$g_0={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{{(\mathrm{6,37}\cdot {10}^6)}^2}}=\mathrm{9,86}\text{ N/kg}$

El cociente entre ambos es simplemente el cuadrado del cociente de las distancias:

${\displaystyle \frac{g}{g_0}}={\left({\displaystyle \frac{R_T}{r}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{6370}{6870}}\right)}^2=\mathrm{0,86}$

A $500\text{ km}$ de altura el campo gravitatorio sigue siendo el $86\mathrm{\%}$ del que hay en la superficie. Que los astronautas floten en esa órbita no se debe, por tanto, a que la gravedad haya desaparecido, sino a que están en caída libre permanente alrededor de la Tierra.