Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Dos cuerpos de masas $m_1=100\text{ kg}$ y $m_2=500\text{ kg}$ se encuentran fijos en los puntos $(-5,0)\text{ m}$ y $(10,0)\text{ m}$ respectivamente. [2,5 puntos]

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a las masas $m_1$ y $m_2$ en el origen de coordenadas. [1 punto]

b) Calcule el valor del potencial gravitatorio en el origen de coordenadas. [1 punto]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre un objeto de 10 kg cuando se desplaza desde el origen de coordenadas hasta un punto infinitamente alejado de $m_1$ y $m_2$. Interprete el signo del trabajo calculado. [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

El campo gravitatorio que crea una masa puntual apunta siempre hacia ella:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{m}{r^2}}{\vec{u}}_r$

Las dos masas están sobre el eje $X$, una a cada lado del origen, así que los dos campos son horizontales y de sentidos opuestos.

Campo que crea $m_1$, situada a $5\text{ m}$ a la izquierda:

${\vec{g}}_1=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{100}{5^2}}\vec{\mathrm{ı}}=-\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-10}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/kg}$

Campo que crea $m_2$, situada a $10\text{ m}$ a la derecha:

${\vec{g}}_2=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{500}{{10}^2}}\vec{\mathrm{ı}}=\mathrm{3,34}\cdot {10}^{-10}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/kg}$

Por el principio de superposición se suman los dos vectores:

$\vec{g}={\vec{g}}_1+{\vec{g}}_2=(-\mathrm{2,67}+\mathrm{3,34})\cdot {10}^{-10}\vec{\mathrm{ı}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/kg}$

El campo resultante en el origen tiene módulo $\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N/kg}$ y apunta hacia $m_2$: aunque esta masa está al doble de distancia, es cinco veces mayor, y en el cociente $m\mathrm{/}{r}^2$ gana el efecto de la masa.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar, siempre negativa, y los de las dos masas se suman sin más:

$V=-G({\displaystyle \frac{m_1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{m_2}{r_2}})$

$V=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{100}{5}}+{\displaystyle \frac{500}{10}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 70$

$V=-\mathrm{4,67}\cdot {10}^{-9}\text{ J/kg}$

Conviene notar la diferencia con el apartado anterior: los campos se restaban por ser vectores de sentidos opuestos, mientras que los potenciales se suman porque son escalares negativos.



El campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo se obtiene de la diferencia de potencial entre los extremos del recorrido:

$W=m(V_O-V_{\mathrm{\infty }})$

En el infinito el potencial es nulo, que es el origen de potenciales que se ha tomado:

$V_{\mathrm{\infty }}=0\text{ J/kg}$

$W=10(-\mathrm{4,67}\cdot {10}^{-9}-0)=-\mathrm{4,67}\cdot {10}^{-8}\text{ J}$

El trabajo del campo es negativo porque el objeto se aleja de las masas que lo atraen: la fuerza gravitatoria y el desplazamiento tienen sentidos opuestos. Ese desplazamiento no es espontáneo, y para llevar el objeto hasta el infinito hay que comunicarle desde fuera una energía de al menos $\mathrm{4,67}\cdot {10}^{-8}\text{ J}$, que es justo el valor absoluto del trabajo calculado.