Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Un cuerpo de masa $m_1=10\text{ kg}$ permanece fijo en el punto $(4,-3)\text{ m}$. [2,5 puntos]

a) Calcule el campo gravitatorio generado por dicho cuerpo en el origen de coordenadas. [1 punto]

b) Calcule la fuerza que experimentará un segundo cuerpo de masa $m_2=5\text{ kg}$ situado en el origen de coordenadas. [0,5 puntos]

Se pretende alejar el segundo cuerpo, transmitiéndole una velocidad de ${10}^{-2}\text{ mm}\mathrm{/}\text{s}$ según la dirección que une ambos cuerpos, alejándole del primero.

c) Halle la distancia máxima a la que llegará el segundo cuerpo con respecto al primero. [1 punto]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{generado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El campo gravitatorio que crea una masa puntual apunta siempre hacia ella:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{m_1}{r^2}}{\vec{u}}_r$

donde ${\vec{u}}_r$ es el vector unitario que va de la masa al punto donde se calcula el campo.





El vector que va del origen hasta la masa y su módulo son:

$\vec{r}=(4,-3)-(0,0)=(4,-3)\text{ m}\Rightarrow r=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ m}$

El módulo del campo en el origen vale:

$g=G{\displaystyle \frac{m_1}{r^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{10}{5^2}}=\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N/kg}$

Y su dirección es la del vector unitario que apunta del origen hacia $m_1$:

$\vec{u}={\displaystyle \frac{(4,-3)}{5}}=(\mathrm{0,8},-\mathrm{0,6})$

$\vec{g}=\mathrm{2,67}\cdot {10}^{-11}(\mathrm{0,8},-\mathrm{0,6})=(\mathrm{2,13}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{1,60}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-11}\text{ N/kg}$



La fuerza sobre una masa colocada en un punto es el producto de esa masa por el campo en dicho punto:

$\vec{F}=m_2\vec{g}$

$\vec{F}=5\cdot (\mathrm{2,13}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{1,60}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-11}=(\mathrm{1,07}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{0,80}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-10}\text{ N}$

Su módulo es:

$F=m_{2}g=5\cdot \mathrm{2,67}\cdot {10}^{-11}=\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-10}\text{ N}$

La fuerza tiene la misma dirección y sentido que el campo, es decir, apunta desde el origen hacia $m_1$, y vale $\mathrm{1,33}\cdot {10}^{-10}\text{ N}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llegar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{primero.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como la única fuerza que actúa sobre $m_2$ es la gravitatoria, que es conservativa, su energía mecánica se conserva entre la posición inicial y la más alejada:

$E_c+E_p=E_c^{\mathrm{\prime }}+E_p^{\mathrm{\prime }}$

En el punto más alejado el cuerpo se detiene, de modo que su energía cinética allí es nula:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_2{v}_0^2-G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r}}=-G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{d_{\max }}}$

Se expresa la velocidad en unidades del Sistema Internacional:

$v_0={10}^{-2}\text{ mm/s}={10}^{-5}\text{ m/s}$

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot {\left({10}^{-5}\right)}^2=\mathrm{2,50}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

$E_p=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{10\cdot 5}{5}}=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

$E=\mathrm{2,50}\cdot {10}^{-10}-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-10}=-\mathrm{4,17}\cdot {10}^{-10}\text{ J}$

La energía mecánica es negativa, así que el cuerpo queda ligado y no puede escapar. Despejando la distancia en la que se anula la velocidad:

$d_{\max }=-G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{E}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 10\cdot 5}{\mathrm{4,17}\cdot {10}^{-10}}}=\mathrm{8,00}\text{ m}$

El segundo cuerpo se aleja hasta $\mathrm{8,00}\text{ m}$ del primero, tres metros más allá de su posición de partida, y desde allí vuelve a caer atraído por $m_1$.