Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Determine para un satélite artificial de masa 500 kg que rodea la Tierra en una órbita circular a $\mathrm{0,30}\cdot {10}^6\text{ m}$ de la superficie del planeta. Determine:

a) El valor de la velocidad, así como el tiempo que tarda en realizar una órbita. [1 punto]

b) La aceleración en la órbita. [0,5 puntos]

c) La energía mecánica del satélite en órbita y el trabajo que se requiere para poner el satélite en esa órbita. [1 punto]

Datos: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra, $R_T=6370\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La atracción gravitatoria terrestre es la fuerza centrípeta de la órbita circular. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6+\mathrm{0,30}\cdot {10}^6=\mathrm{6,67}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^6}}}$

$v=\mathrm{7,74}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El periodo sale del movimiento circular uniforme:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^6}{\mathrm{7,744}\cdot {10}^3}}$

$T=\mathrm{5,41}\cdot {10}^3\text{ s}$

Es decir, poco más de hora y media, lo típico de una órbita baja.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La única fuerza es la gravitatoria, así que la aceleración del satélite es la aceleración centrípeta, que coincide con el campo gravitatorio a esa distancia:

$a={\displaystyle \frac{v^2}{r}}=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{{(\mathrm{6,67}\cdot {10}^6)}^2}}$

$a=\mathrm{8,99}{\text{m/s}}^2$

Solo un 9 % menor que en la superficie terrestre: a 300 km de altura la gravedad sigue siendo prácticamente la misma, y lo que hace flotar a los astronautas es la caída libre, no la ausencia de gravedad.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{requiere}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{poner}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En una órbita circular la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario, de modo que la energía mecánica es la mitad de la potencial:

$E=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 500}{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^6}}$

$E=-\mathrm{1,50}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

El trabajo necesario es la diferencia entre esa energía y la que tenía en la superficie, donde se supone en reposo:

$E_{\text{superficie}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 500}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{3,14}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$W=E-E_{\text{superficie}}=-\mathrm{1,4992}\cdot {10}^{10}+\mathrm{3,1396}\cdot {10}^{10}$

$W=\mathrm{1,64}\cdot {10}^{10}\text{ J}$