Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2023

Una carga eléctrica negativa $q_1=-2\mu \text{C}$ se encuentra en el origen de coordenadas. Otra carga eléctrica negativa $q_2=-1\mu \text{C}$ se acerca desde el infinito hasta el punto $(0,5)\text{ m}$.

a) Calcule el trabajo realizado para llevar la carga $q_2$ hasta dicho punto. Razone el significado físico del signo de dicho trabajo. [1,25 puntos]

b) Determine la posición del punto del eje $Y$, situado entre ambas cargas, en el que una carga positiva $q$ estaría en equilibrio electrostático. [1,25 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

El campo eléctrico es conservativo, así que el trabajo de la fuerza eléctrica al trasladar una carga entre dos puntos es:

$W_{\text{campo}}=q(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})$

y el que realiza un agente externo es el opuesto.





Se calcula el potencial que crea $q_1$ en el punto de llegada, que dista 5 m del origen:

$V=K{\displaystyle \frac{q_1}{r}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{-2\cdot {10}^{-6}}{5}}=-3600\text{ V}$

El potencial en el infinito es nulo, luego el trabajo de la fuerza eléctrica vale:

$W_{\text{campo}}=q_2(V_{\mathrm{\infty }}-V)=-{10}^{-6}(0-(-3600))$

$W_{\text{campo}}=-\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

Y, por tanto, el trabajo que hay que realizar desde fuera para llevar la carga hasta ahí es:

$W_{\text{ext}}=-W_{\text{campo}}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^{-3}\text{ J}$

El signo tiene un significado claro: las dos cargas son negativas y se repelen, de modo que acercarlas no es espontáneo. El campo se opone al desplazamiento, su trabajo es negativo, y hay que empujar desde fuera aportando esos $\mathrm{3,6}\text{ mJ}$, que quedan almacenados como energía potencial del sistema.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{eje}}\mathit{Y}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{cargas,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{positiva}}\mathit{q}\mathbf{\text{estar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{equilibrio}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una carga positiva situada entre las dos negativas es atraída por ambas, en sentidos opuestos. El equilibrio se da donde las dos fuerzas tienen el mismo módulo.

Llamando $y$ a la distancia desde el origen, donde está $q_1$, la distancia a $q_2$ es $5-y$:

$K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }q}{y^2}}=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }q}{(5-y{)}^2}}$

Se simplifican $K$ y $q$ y se sustituyen los valores de las cargas:

${\displaystyle \frac{2}{y^2}}={\displaystyle \frac{1}{(5-y{)}^2}}\Rightarrow 2(5-y{)}^2=y^2$

Se toma la raíz cuadrada, quedándose con la solución positiva, que es la única con sentido físico dentro del segmento:

$\sqrt{2}(5-y)=y\Rightarrow 5\sqrt{2}=y(1+\sqrt{2})$

$y={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}}=\mathrm{2,93}\text{ m}$

Se descarta la otra raíz, $\sqrt{2}(5-y)=-y$, porque conduce a un punto fuera del segmento que une las cargas.

El punto pedido es $(0;\mathrm{2,93})\text{ m}$: queda más cerca de la carga de menor valor absoluto, que es la que atrae con menos fuerza a igualdad de distancia.