Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2023

a) Represente gráficamente las líneas de campo eléctrico que genera una carga puntual $q$, en cualquier punto de su entorno, para los casos: $q>0$ y $q<0$. [0,5 puntos]

Dos cargas eléctricas puntuales de valor $-2\text{ nC}$ y $3\text{ nC}$ se encuentran fijas, en puntos de coordenadas cartesianas $(0,0)\text{ cm}$ y $(4,0)\text{ cm}$ respectivamente.

b) Determine las coordenadas del punto $P$, situado en el segmento que une ambas cargas, en el que el potencial eléctrico se anula. [1 punto]

c) Se sitúa un protón en reposo en el punto $P$. Determine la velocidad con que llegará al punto de coordenadas $(1,0)\text{ cm}$. [1 punto]

Datos: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$; carga del protón, $q_p=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; masa del protón, $m_p=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$.

El campo creado por una carga puntual es radial y su módulo vale:

$E=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{r^2}}$

Si la carga es positiva, las líneas de campo salen de ella y se alejan radialmente hacia el infinito: la carga es un manantial de campo. Si la carga es negativa, las líneas vienen del infinito y entran en ella: la carga es un sumidero.

En ambos casos las líneas son radios de las esferas centradas en la carga, y se van separando al alejarse porque el campo disminuye con el cuadrado de la distancia.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{une}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{cargas,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



El potencial es una magnitud escalar, así que se suman los de las dos cargas con su signo. Llamando $x$ a la distancia del punto a la carga situada en el origen, y trabajando en metros:

$V_P=K{\displaystyle \frac{q_1}{x}}+K{\displaystyle \frac{q_2}{\mathrm{0,04}-x}}=0$

Se saca factor común y se sustituyen las cargas:

${\displaystyle \frac{-2\cdot {10}^{-9}}{x}}+{\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,04}-x}}=0$

$3x=2(\mathrm{0,04}-x)\Rightarrow 5x=\mathrm{0,08}$

$x=\mathrm{0,016}\text{ m}=\mathrm{1,6}\text{ cm}$

El potencial se anula en el punto $P(\mathrm{1,6};0)\text{ cm}$, más cerca de la carga de menor valor absoluto, como cabía esperar.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sit}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{prot}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llegar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> cm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como el campo eléctrico es conservativo y sobre el protón no actúa ninguna otra fuerza, la energía mecánica se conserva:

$\mathrm{\Delta }{E}_c+\mathrm{\Delta }{E}_p=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_p{v}^2=q_p(V_P-V_1)$

Se calcula el potencial en el punto $(1,0)\text{ cm}$, que dista 1 cm de la primera carga y 3 cm de la segunda:

$V_1=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{-2\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,01}}}+{\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,03}}})=9\cdot {10}^9(-2\cdot {10}^{-7}+{10}^{-7})$

$V_1=-900\text{ V}$

El protón, que es positivo, se mueve espontáneamente hacia los potenciales decrecientes, así que en efecto irá de $P$ a ese punto ganando energía cinética:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_p{v}^2=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}(0-(-900))=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{-16}\text{ J}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,44}\cdot {10}^{-16}}{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}}}}$

$v=\mathrm{4,15}\cdot {10}^5\text{ m/s}$