Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2024

Dos cargas $q_1=-5\mu \text{C}$ y $q_2=+5\mu \text{C}$ están situadas en los vértices $B$ y $C$ de la base de un triángulo equilátero de 50 cm de lado (ver figura). Calcule:

a) El campo eléctrico en el vértice $A$. [1 punto]

b) El potencial eléctrico en el punto $D$, equidistante de los puntos $A$ y $C$ del triángulo (marcado con un aspa en la figura). [0,75 puntos]

c) El trabajo realizado por el campo eléctrico al mover una tercera carga, $q_3=+10\text{ nC}$, desde el punto $D$ hasta un punto infinitamente alejado de la distribución de cargas. ¿Qué significa el signo del trabajo? [0,75 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El campo creado por una carga puntual vale $E=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{r^2}}$, se aleja de la carga si es positiva y se dirige hacia ella si es negativa.

Como el triángulo es equilátero, $A$ dista lo mismo de las dos cargas y los dos módulos coinciden.





Se pasa el lado a unidades del Sistema Internacional:

$r=50\text{ cm}=\mathrm{0,5}\text{ m}$

$E_1=E_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{{\mathrm{0,5}}^2}}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^5\text{ N/C}$

El campo ${\vec{E}}_1$, creado por la carga negativa de $B$, apunta de $A$ hacia $B$; el campo ${\vec{E}}_2$, creado por la carga positiva de $C$, apunta de $C$ hacia $A$. Los dos forman ${60}^{\circ }$ con el lado $BC$, uno hacia abajo y el otro hacia arriba.

Al sumarlos, las componentes verticales se cancelan y las horizontales se suman, las dos hacia $B$:

$E_A=2E_1\cos {60}^{\circ }=2\cdot \mathrm{1,8}\cdot {10}^5\cdot \mathrm{0,5}$

${\vec{E}}_A=-\mathrm{1,8}\cdot {10}^5\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

El campo en el vértice $A$ tiene módulo $\mathrm{1,8}\cdot {10}^5\text{ N/C}$ y es paralelo al lado $BC$, dirigido de $C$ hacia $B$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{D}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{equidistante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tri}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{(marcado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{aspa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura).}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El punto $D$ es el punto medio del lado $AC$, así que dista de $C$ media longitud del lado:

$r_{CD}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{2}}=\mathrm{0,25}\text{ m}$

El segmento $BD$ es la mediana del triángulo equilátero, que coincide con su altura:

$r_{BD}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot \mathrm{0,5}=\mathrm{0,433}\text{ m}$

El potencial es escalar, así que se suman los de las dos cargas con su signo:

$V_D=K{\displaystyle \frac{q_1}{r_{BD}}}+K{\displaystyle \frac{q_2}{r_{CD}}}=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{-5\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,433}}}+{\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,25}}})$

$V_D=\mathrm{7,61}\cdot {10}^4\text{ V}$



El campo eléctrico es conservativo, de modo que el trabajo se calcula con la diferencia de potencial:

$W=q_3(V_D-V_{\mathrm{\infty }})$

El potencial en el infinito es nulo, y la carga hay que expresarla en culombios:

$q_3=10\text{ nC}={10}^{-8}\text{ C}$

$W={10}^{-8}\cdot (\mathrm{7,61}\cdot {10}^4-0)$

$W=\mathrm{7,61}\cdot {10}^{-4}\text{ J}$

El trabajo es positivo, lo que significa que el desplazamiento se produce espontáneamente: el campo empuja a la carga positiva desde $D$ hacia el infinito, porque $D$ está más cerca de la carga positiva que de la negativa y su potencial es mayor que el del infinito.