Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cantabria · 2024

Una onda armónica transversal viaja por una cuerda hacia la parte negativa del eje $x$. Dos elementos de la cuerda $A$ y $B$, ubicados en las posiciones $x_A=0\text{ m}$ y $x_B=\mathrm{0,6}\text{ m}$ respectivamente, oscilan en fase y cortan al eje $x$ cada 0,06 s. Ningún otro elemento entre $A$ y $B$ oscila en fase con ellos. Inicialmente, los puntos $A$ y $B$ tienen una elongación de $+\mathrm{0,005}\text{ m}$ y velocidad nula.

a) Escriba la expresión matemática de la onda. [1 punto]

b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. [0,75 puntos]

c) Determine la velocidad transversal del punto de la onda situado en $x=\mathrm{0,3}\text{ m}$, en función del tiempo. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Se van obteniendo uno a uno los parámetros de la onda a partir de los datos del enunciado.

Los puntos $A$ y $B$ oscilan en fase y ningún punto intermedio lo hace, luego su separación es exactamente una longitud de onda:

$\lambda =x_B-x_A=\mathrm{0,6}-0=\mathrm{0,6}\text{ m}$

Un punto de la cuerda corta al eje $x$ dos veces en cada oscilación completa, de manera que el tiempo entre dos cortes consecutivos es medio periodo:

${\displaystyle \frac{T}{2}}=\mathrm{0,06}\text{ s}\Rightarrow T=\mathrm{0,12}\text{ s}$

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,12}}}=\mathrm{8,33}\text{ Hz}$

$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,12}}}=\mathrm{52,36}\text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{10,47}\text{ rad/m}$

Inicialmente los puntos $A$ y $B$ tienen velocidad nula, así que en ese instante están en un extremo de su oscilación y su elongación es la amplitud:

$A=\mathrm{0,005}\text{ m}$

La onda viaja hacia la parte negativa del eje $x$, de modo que los términos en $t$ y en $x$ llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\cos (\omega t+kx+{\phi }_0)$

Se impone la condición inicial en $x=0$, donde la elongación es máxima y positiva:

$y(0,0)=A\cos {\phi }_0=A\Rightarrow {\phi }_0=0\text{ rad}$

La expresión matemática de la onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=\mathrm{0,005}\cos (\mathrm{52,36}t+\mathrm{10,47}x)\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es el cociente entre la longitud de onda y el periodo:

$v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}=\lambda f={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,12}}}$

$v=5\text{ m/s}$

La onda avanza a $5\text{ m/s}$ en el sentido negativo del eje $x$.



La velocidad transversal es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con la posición fija:

$v_y(x,t)={\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }y}{\mathrm{\partial }t}}=-A\omega \sin (\omega t+kx)$

$v_y(x,t)=-\mathrm{0,005}\cdot \mathrm{52,36}\sin (\mathrm{52,36}t+\mathrm{10,47}x)$

Se sustituye la posición del punto pedido:

$v_y(\mathrm{0,3};t)=-\mathrm{0,262}\sin (\mathrm{52,36}t+\mathrm{10,47}\cdot \mathrm{0,3})=-\mathrm{0,262}\sin (\mathrm{52,36}t+\pi )$

Y como $\sin (\alpha +\pi )=-\sin \alpha$, queda:

$v_y(\mathrm{0,3};t)=\mathrm{0,262}\sin \left(\mathrm{52,36}t\right)\text{ m/s}$

Ese punto oscila con una velocidad transversal máxima de $\mathrm{0,262}\text{ m/s}$, en oposición de fase con el punto $A$, como corresponde a dos puntos separados media longitud de onda.