Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cantabria · 2024

Una carga situada en un punto del plano XY genera un potencial de $-180\text{ V}$ y un campo eléctrico $\vec{E}=360\vec{\mathrm{ı}}\text{ V}\mathrm{/}\text{m}$ en el origen de coordenadas.

a) Calcule el valor de la carga y su posición. [1 punto]

b) La citada carga ejerce una fuerza eléctrica sobre otra carga, tal que esta segunda se mueve desde el origen de coordenadas hasta el infinito. El trabajo realizado por la fuerza eléctrica es de 900 nJ. Calcule el valor de la segunda carga. [1 punto]

c) Razone brevemente la relación entre el signo del trabajo y los signos de ambas cargas. [0,5 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Una carga puntual crea en un punto situado a distancia $r$ un potencial y un campo dados por:

$V=K{\displaystyle \frac{q}{r}}\vec{E}=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}{\vec{u}}_r$

Como el potencial en el origen es negativo, la carga tiene que ser negativa, y entonces el campo apunta hacia ella.





Dividiendo el potencial entre el módulo del campo se elimina la carga y queda la distancia:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }V\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{E}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{K\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\mathrm{/}r}{K\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\mathrm{/}{r}^2}}=r$

$r={\displaystyle \frac{180}{360}}=\mathrm{0,5}\text{ m}$

Ahora se despeja la carga del potencial:

$q={\displaystyle \frac{Vr}{K}}={\displaystyle \frac{-180\cdot \mathrm{0,5}}{9\cdot {10}^9}}=-1\cdot {10}^{-8}\text{ C}$

La carga vale $q=-10\text{ nC}$.

En cuanto a la posición, el campo creado por una carga negativa se dirige hacia la carga. Como en el origen el campo es $\vec{E}=360\vec{\mathrm{ı}}\text{ V/m}$, es decir, apunta en el sentido positivo del eje $X$, la carga está en el semieje $X$ positivo:

$(\mathrm{0,5},0)\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{citada}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{carga,}}\mathbf{\text{tal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{900}}\mathbf{\text{nJ.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{carga.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El campo eléctrico es conservativo, así que el trabajo de la fuerza eléctrica sobre una carga $q^{\mathrm{\prime }}$ es:

$W=q^{\mathrm{\prime }}(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})$

El potencial en el infinito es nulo y el del origen es el del enunciado:

$W=q^{\mathrm{\prime }}(-180-0)=-180q^{\mathrm{\prime }}$

Se pasa el trabajo a unidades del Sistema Internacional:

$W=900\text{ nJ}=9\cdot {10}^{-7}\text{ J}$

$q^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{W}{-180}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^{-7}}{-180}}=-5\cdot {10}^{-9}\text{ C}$

La segunda carga vale $q^{\mathrm{\prime }}=-5\text{ nC}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{brevemente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{signos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{cargas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las dos cargas son negativas, de modo que la fuerza entre ellas es repulsiva. Al alejarse la segunda carga hasta el infinito, la fuerza eléctrica y el desplazamiento tienen el mismo sentido y el trabajo del campo es positivo, como en efecto sale.

En general, el trabajo del campo es positivo cuando el desplazamiento es el espontáneo: dos cargas del mismo signo se separan y dos de signo contrario se acercan. Si las cargas hubieran sido de signos opuestos, alejarse hasta el infinito habría exigido un trabajo del campo negativo, y habría que haber empujado desde fuera.