Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Un tenista juega el 20 % de sus partidos en tierra batida y el resto en otras superficies. Jugando en tierra batida gana el 90 % de sus partidos, pero en otras superficies, solo consigue ganar el 40 % de los partidos.

a) Calcule la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué superficie juega. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida sabiendo que ha ganado dicho partido. [1,25 puntos]

Llamamos $T$ al suceso «jugar en tierra batida», $O$ al suceso «jugar en otra superficie» y $G$ al suceso «ganar el partido». Los datos del enunciado son

$P(T)=0{,}20,\qquad P(O)=0{,}80,\qquad P(G|T)=0{,}90,\qquad P(G|O)=0{,}40$

El árbol del experimento es:



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué superficie juega. [1,25 puntos]}$

Los sucesos $T$ y $O$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $G$.

$P(G)=P(T)P(G|T)+P(O)P(G|O)$

$=0{,}20\cdot0{,}90+0{,}80\cdot0{,}40=0{,}18+0{,}32=0{,}50$

La probabilidad de que gane un partido cualquiera es $0{,}50$, es decir, gana la mitad de los partidos que juega.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida sabiendo que ha ganado dicho partido. [1,25 puntos]}$

Se pide la probabilidad de la causa conocido el efecto, así que aplicamos el teorema de Bayes dividiendo la rama que interesa entre el total del apartado anterior.

$P(T|G)=\dfrac{P(T)P(G|T)}{P(G)}=\dfrac{0{,}18}{0{,}50}=\dfrac{9}{25}=0{,}36$

La probabilidad de que haya jugado en tierra batida, sabiendo que ganó, es $0{,}36$: casi el doble del $20\%$ de partida, porque es la superficie en la que más gana.