Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Una determinada especie de aves siempre pone dos huevos, pero a la madre solo le es posible alimentar a un polluelo, el más fuerte de los dos. El polluelo del huevo que primero eclosiona tiene un 60 % de probabilidad de ser el superviviente, mientras que el polluelo del huevo que eclosiona en segundo lugar tiene una probabilidad de sobrevivir del 30 %.

a) Calcule la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente, si no sabemos si eclosionó en primer lugar o en segundo lugar su huevo. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar. [1,25 puntos]

Llamamos $P$ al suceso «el huevo eclosionó en primer lugar», $S$ al suceso «el huevo eclosionó en segundo lugar» y $V$ al suceso «el polluelo sobrevive». Como cada nidada tiene siempre un huevo de cada clase, un polluelo cualquiera procede con igual probabilidad de uno u otro:

$P(P)=P(S)=\dfrac12,\qquad P(V|P)=0{,}60,\qquad P(V|S)=0{,}30$

El árbol del experimento es:



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente, si no sabemos si eclosionó en primer lugar o en segundo lugar su huevo. [1,25 puntos]}$

Los sucesos $P$ y $S$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $V$.

$P(V)=P(P)P(V|P)+P(S)P(V|S)$

$=0{,}5\cdot0{,}60+0{,}5\cdot0{,}30=0{,}30+0{,}15=0{,}45$

La probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente es $0{,}45$, es decir, un $45\%$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar. [1,25 puntos]}$

Un ave adulta es un polluelo que sobrevivió, de modo que se pide la probabilidad de la causa conocido el efecto: aplicamos el teorema de Bayes.

$P(S|V)=\dfrac{P(S)P(V|S)}{P(V)}=\dfrac{0{,}15}{0{,}45}=\dfrac13\approx0{,}3333$

Una de cada tres aves adultas procede de un huevo eclosionado en segundo lugar, pese a que la mitad de los huevos lo son: los que eclosionan antes sobreviven el doble de veces.