Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En ajedrez, la mitad de las partidas se juegan con piezas blancas y la otra mitad con negras. Un determinado jugador gana el 40 % de las partidas oficiales que juega con blancas y el 30 % jugando con negras.

a) Calcule la probabilidad de que gane una partida concreta si no sabemos con qué piezas jugará. [1,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que haya jugado con blancas una partida concreta, sabiendo que ha ganado. [1,25 puntos]

Llamamos $B$ al suceso «jugar con piezas blancas», $N$ al suceso «jugar con negras» y $G$ al suceso «ganar la partida». Los datos del enunciado son

$P(B)=P(N)=\dfrac12,\qquad P(G|B)=0{,}40,\qquad P(G|N)=0{,}30$

El árbol del experimento es:



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que gane una partida concreta si no sabemos con qué piezas jugará. [1,25 puntos]}$

Los sucesos $B$ y $N$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $G$.

$P(G)=P(B)P(G|B)+P(N)P(G|N)$

$=0{,}5\cdot0{,}40+0{,}5\cdot0{,}30=0{,}20+0{,}15=0{,}35$

La probabilidad de que gane una partida cualquiera es $0{,}35$, es decir, un $35\%$, que es la media de los dos porcentajes por jugarse la mitad de las partidas con cada color.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que haya jugado con blancas una partida concreta, sabiendo que ha ganado. [1,25 puntos]}$

Se pide la probabilidad de la causa conocido el efecto, así que aplicamos el teorema de Bayes dividiendo la rama que interesa entre el total del apartado anterior.

$P(B|G)=\dfrac{P(B)P(G|B)}{P(G)}=\dfrac{0{,}20}{0{,}35}=\dfrac{4}{7}\approx0{,}5714$

La probabilidad de que haya jugado con blancas, sabiendo que ganó, es $\dfrac47\approx0{,}5714$: por encima del $50\%$ de partida, porque gana más a menudo con ese color.