Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

El 90 % de las personas de una población están vacunadas contra la enfermedad $E$. El 5 % de las personas no vacunadas tienen la enfermedad $E$, y el 1 % de las personas vacunadas también han contraído la enfermedad. Se selecciona una persona al azar de dicha población:

a) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma. [1,5 puntos]

Llamamos $V$ al suceso «la persona está vacunada» y $E$ al suceso «la persona tiene la enfermedad». Los datos del enunciado son

$P(V)=0{,}90,\qquad P(E|V)=0{,}01,\qquad P(E|\overline{V})=0{,}05$

El árbol del experimento es:



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma. [1 punto]}$

Los sucesos $V$ y $\overline{V}$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $E$.

$P(E)=P(V)P(E|V)+P(\overline{V})P(E|\overline{V})$

$=0{,}90\cdot0{,}01+0{,}10\cdot0{,}05=0{,}009+0{,}005=0{,}014$

La probabilidad de que una persona elegida al azar esté enferma es $0{,}014$, es decir, un $1{,}4\%$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma. [1,5 puntos]}$

Se pide la probabilidad de la causa conocido el efecto, así que aplicamos el teorema de Bayes dividiendo la rama que interesa entre el total del apartado anterior.

$P(V|E)=\dfrac{P(V)P(E|V)}{P(E)}=\dfrac{0{,}009}{0{,}014}=\dfrac{9}{14}\approx0{,}6429$

La probabilidad de que un enfermo esté vacunado es $\dfrac{9}{14}\approx0{,}6429$, es decir, un $64{,}29\%$. Que la mayoría de los enfermos esté vacunada no contradice la eficacia de la vacuna: los vacunados son nueve de cada diez, y enferman cinco veces menos.