Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

En una urna hay 4 bolas, una de ellas es blanca y las otras tres negras. Sacamos una bola al azar y sin devolverla a la urna sacamos una segunda bola también al azar.

a) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. [1 punto]

c) Calcule la probabilidad de sacar una bola negra en la segunda extracción, si sabemos que la primera bola fue negra. [0,5 puntos]

Llamamos $B$ al suceso «sacar bola blanca» y $N$ al suceso «sacar bola negra». Como la primera bola no se devuelve, en la segunda extracción quedan tres bolas y las probabilidades cambian. El árbol del experimento es:



La rama $B$-$B$ tiene probabilidad nula, porque solo hay una bola blanca en la urna.

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color. [1 punto]}$

Hay dos caminos favorables, blanca-negra y negra-blanca, y son incompatibles, así que sus probabilidades se suman.

$P(\text{distinto color})=P(B\cap N)+P(N\cap B)=\dfrac14\cdot\dfrac33+\dfrac34\cdot\dfrac13$

$=\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12$

La probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color es $\dfrac12=0{,}5$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color. [1 punto]}$

Es el suceso contrario del anterior, pero lo calculamos también por el árbol para comprobarlo. El único camino posible es negra-negra:

$P(\text{mismo color})=P(N\cap N)=\dfrac34\cdot\dfrac23=\dfrac12$

que coincide, como debía, con $1-\dfrac12$.

$\textbf{c) Calcule la probabilidad de sacar una bola negra en la segunda extracción, si sabemos que la primera bola fue negra. [0,5 puntos]}$

Es una probabilidad condicionada, y se lee directamente en la segunda rama del árbol: si la primera bola fue negra, en la urna quedan tres bolas, de las cuales dos son negras.

$P(N_2|N_1)=\dfrac23\approx0{,}6667$