Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Sean $A$ y $B$ dos sucesos independientes asociados a un experimento aleatorio con $P(A) = 0{,}5$ y $P(B) = 0{,}25$.

a) Calcule $P(A \cup B)$. [0,5 puntos]

b) Calcule $P(A^c)$ y $P(B^c)$, donde $A^c$ y $B^c$ denotan el suceso contrario de $A$ y de $B$ respectivamente. [0,5 puntos]

c) Razone si $A^c$ y $B^c$ son independientes. [1 punto]

d) Calcule $P(A^c \cup B^c)$. [0,5 puntos]

Los cuatro apartados se apoyan en la independencia de los dos sucesos, que es lo que permite escribir

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0{,}5\cdot0{,}25=0{,}125$

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{P(A \cup B)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Los sucesos no son incompatibles, de modo que en la unión hay que descontar la intersección.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}5+0{,}25-0{,}125=0{,}625$



$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{P(A^{c})}\textbf{ y } \boldsymbol{P(B^{c})}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Basta pasar al suceso contrario en cada caso.

$P(A^{c})=1-P(A)=1-0{,}5=0{,}5$

$P(B^{c})=1-P(B)=1-0{,}25=0{,}75$

$\textbf{c) Razone si } \boldsymbol{A^{c}}\textbf{ y } \boldsymbol{B^{c}}\textbf{ son independientes. [1 punto]}$

Hay que comprobar si la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades. La intersección de los contrarios es, por las leyes de De Morgan, el contrario de la unión, que ya conocemos.

$A^{c}\cap B^{c}=(A\cup B)^{c}\Rightarrow P(A^{c}\cap B^{c})=1-P(A\cup B)=1-0{,}625=0{,}375$

$P(A^{c})\cdot P(B^{c})=0{,}5\cdot0{,}75=0{,}375$

Los dos valores coinciden, luego $A^{c}$ y $B^{c}$ sí son independientes. No es casualidad: si dos sucesos son independientes, también lo son sus contrarios.

$\textbf{d) Calcule } \boldsymbol{P(A^{c} \cup B^{c})}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Volvemos a usar De Morgan, ahora en el otro sentido: la unión de los contrarios es el contrario de la intersección.

$A^{c}\cup B^{c}=(A\cap B)^{c}\Rightarrow P(A^{c}\cup B^{c})=1-P(A\cap B)$

$=1-0{,}125=0{,}875$