Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Se ha desarrollado un test para detectar un tipo particular de artritis en personas de alrededor de 50 años. Calcule la probabilidad de que una persona esté enferma si al hacerle el test este sale positivo. Conocemos por un estudio previo que:

La probabilidad de que las personas sobre 50 años tengan este tipo de artritis es de 0,10.

La probabilidad de que el test salga positivo a personas sobre 50 años con la artritis estudiada es de 0,85.

La probabilidad de que el test salga positivo a personas sobre 50 años sin la artritis estudiada es de 0,04. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule la probabilidad de que una persona esté enferma si al hacerle el test este sale positivo. [2,5 puntos]}$

Llamamos $E$ al suceso «la persona tiene la artritis estudiada» y $+$ al suceso «el test sale positivo». Los datos del enunciado son

$P(E)=0{,}10,\qquad P(+|E)=0{,}85,\qquad P(+|\overline{E})=0{,}04$

Lo que se pide es la probabilidad de la causa conocido el efecto, así que se trata de un problema de probabilidad inversa y aplicamos el teorema de Bayes. El árbol del experimento es:



Como $E$ y $\overline{E}$ forman un sistema completo de sucesos, la probabilidad de dar positivo se obtiene por el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $+$.

$P(+)=P(E)P(+|E)+P(\overline{E})P(+|\overline{E})$

$=0{,}10\cdot0{,}85+0{,}90\cdot0{,}04=0{,}085+0{,}036=0{,}121$

Ahora dividimos entre esa cantidad la rama que interesa:

$P(E|+)=\dfrac{P(E)P(+|E)}{P(+)}=\dfrac{0{,}085}{0{,}121}=\dfrac{85}{121}\approx0{,}7025$

La probabilidad de que una persona esté enferma sabiendo que ha dado positivo es $\dfrac{85}{121}\approx0{,}7025$, es decir, un $70{,}25\%$. Aunque el test acierta el $85\%$ de los enfermos, casi un tercio de los positivos corresponde a personas sanas, porque las sanas son nueve veces más numerosas.