Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Ciertos síntomas pueden deberse a tres enfermedades diferentes que no se padecen de forma simultánea. Con una probabilidad 0,7 se deben a la enfermedad 1 (E1), con una probabilidad 0,2 a la enfermedad 2 (E2) y con una probabilidad 0,1 a la enfermedad 3 (E3). Existen tres tratamientos diferentes, el A es el adecuado para E2, el B para E3 y el C para E1. Así y todo, cada uno de los tratamientos tiene cierto poder de curación de cada una de las enfermedades. La probabilidad de ser curado con cierto tratamiento cuando se tiene cierta enfermedad viene dada para cada tratamiento y enfermedad por la siguiente tabla.

	$\text{E1}$	$\text{E2}$	$\text{E3}$ Trat. A	0,6	1	0,4 Trat. B	0,65	0,5	0,9 Trat. C	0,75	0,2	0,5

Note que, de acuerdo con la misma, la probabilidad de curarse con el tratamiento A cuando se tiene E3 es de 0,4. ¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece? [2,5 puntos]

$\textbf{¿Qué tratamiento debemos administrar a un paciente con dichos síntomas, teniendo en cuenta que no sabemos a priori cuál de las tres enfermedades padece? [2,5 puntos]}$

Como no se sabe qué enfermedad padece el paciente, lo que hay que comparar es la probabilidad de curarse con cada tratamiento sin condicionar a ninguna enfermedad. Las tres enfermedades forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total una vez por tratamiento.

Llamamos $C$ al suceso «el paciente se cura» y $E_1$, $E_2$, $E_3$ a las tres enfermedades, con

$P(E_1)=0{,}7,\qquad P(E_2)=0{,}2,\qquad P(E_3)=0{,}1$

El árbol del tratamiento $A$ es el siguiente; los de $B$ y $C$ son idénticos y solo cambian las probabilidades de la segunda rama, que se leen en la fila correspondiente de la tabla.



Tratamiento $A$:

$P(C)=0{,}7\cdot0{,}6+0{,}2\cdot1+0{,}1\cdot0{,}4=0{,}42+0{,}2+0{,}04=0{,}66$

Tratamiento $B$:

$P(C)=0{,}7\cdot0{,}65+0{,}2\cdot0{,}5+0{,}1\cdot0{,}9=0{,}455+0{,}1+0{,}09=0{,}645$

Tratamiento $C$:

$P(C)=0{,}7\cdot0{,}75+0{,}2\cdot0{,}2+0{,}1\cdot0{,}5=0{,}525+0{,}04+0{,}05=0{,}615$

Comparamos las tres probabilidades:

$0{,}66>0{,}645>0{,}615$

Debemos administrar el tratamiento $A$, que cura al paciente con probabilidad $0{,}66$, la mayor de las tres. Conviene notar que $A$ no es el adecuado para la enfermedad más probable, pero compensa esa desventaja curando con seguridad la enfermedad $E_2$.