Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2020

a) Explique el concepto de energía potencial gravitatoria. ¿Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa $m$ situada a una distancia $r$ de otra de masa $M$? [1 punto]

Un satélite de masa $m=100\text{ kg}$ realiza una órbita circular terrestre con un radio que es dos veces el de la Tierra, $r=2R_{\text{Tierra}}$.

b) Calcule el valor de su energía mecánica. [0,75 puntos]

c) Determine la cantidad de energía que será necesario suministrarle para desplazarlo a una órbita de radio tres veces el terrestre, $r^{\mathrm{\prime }}=3R_{\text{Tierra}}$. [0,75 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N }{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_{\text{Tierra}}=\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra, $R_{\text{Tierra}}=6371\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{concepto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{part}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathit{m}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{r}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{masa}}\mathit{M}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La fuerza gravitatoria es conservativa: el trabajo que realiza al desplazar un cuerpo entre dos puntos no depende del camino seguido, sino solo de las posiciones inicial y final. Eso permite asociar al sistema una energía potencial, cuya variación cambiada de signo es ese trabajo.

La energía potencial gravitatoria de dos masas es el trabajo que hay que realizar contra la fuerza gravitatoria para traerlas desde el infinito, donde no interaccionan, hasta la distancia a la que se encuentran. Es una energía del sistema formado por ambas.

Para una partícula de masa $m$ situada a una distancia $r$ de otra de masa $M$:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{r}}$

Se mide en julios. El signo negativo procede de tomar el origen de energías en el infinito y de que la fuerza sea siempre atractiva: hay que aportar energía para separar las masas, de modo que la energía potencial crece —se hace menos negativa— al alejarlas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y de ahí sale la energía cinética:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Sumándole la potencial, la energía mecánica resulta ser la mitad de esta.





$E_m={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Con $r=2R_T=\mathrm{1,2742}\cdot {10}^7\text{ m}$:

$E_m=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 100}{2\cdot \mathrm{1,2742}\cdot {10}^7}}$

$E_m=-\mathrm{1,56}\cdot {10}^9\text{ J}$

La energía mecánica del satélite es de $-\mathrm{1,56}\cdot {10}^9\text{ J}$. Que sea negativa es lo que expresa que el satélite está ligado a la Tierra: haría falta aportarle esa energía para llevarlo al infinito.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{suministrarle}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{desplazarlo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{terrestre.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La energía necesaria es la diferencia entre las energías mecánicas de las dos órbitas:

$\mathrm{\Delta }E=E_m^{\mathrm{\prime }}-E_m=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2\cdot 3R_T}}+{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2\cdot 2R_T}}$

$\mathrm{\Delta }E={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2R_T}}({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{12R_T}}$

$\mathrm{\Delta }E={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}\cdot 100}{12\cdot \mathrm{6,371}\cdot {10}^6}}$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{5,21}\cdot {10}^8\text{ J}$

Hay que suministrarle $\mathrm{5,21}\cdot {10}^8\text{ J}$, la tercera parte de lo que valdría en módulo su energía mecánica inicial. Al subir, el satélite gana energía mecánica pero pierde velocidad: la energía potencial aumenta el doble de lo que disminuye la cinética.