Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2025

Suponiendo que los planetas del Sistema Solar se mueven en órbitas circulares con los radios orbitales dados en la siguiente tabla, obtenga la masa del Sol [0,75 puntos] y el periodo orbital de Venus y Marte [0,75 puntos].

Planeta	Venus	Tierra	Marte Radio orbital (millones de km)	106	147	223 Radio del planeta (veces el radio de la Tierra)	0,95	1,00	0,53 Masa (veces la masa de la Tierra)	0,72	1,00	Periodo orbital (días terrestres)		365

Datos: Constante de gravitación universal: $\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\mathrm{/}{\mathrm{k}\mathrm{g}}^2$; Radio de la Tierra: 6370 km; Masa de la Tierra: $\mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

$\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{planetas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sistema}}\mathbf{\text{Solar}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueven}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbitas}}\mathbf{\text{circulares}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{radios}}\mathbf{\text{orbitales}}\mathbf{\text{dados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tabla,}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sol.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La única fuerza que actúa sobre un planeta es la atracción gravitatoria del Sol, y como la órbita es circular esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$





La velocidad de un movimiento circular uniforme se relaciona con el periodo mediante $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$, y al sustituirla se obtiene la tercera ley de Kepler:

${\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{G{M}_S}{r}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{T^2}{r^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G{M}_S}}$

De los tres planetas de la tabla, el único del que se conocen a la vez el radio orbital y el periodo es la Tierra, así que es el que sirve para despejar la masa del Sol:

$M_S={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}_T^3}{G{T}_T^2}}$

Se pasan los datos a unidades del Sistema Internacional:

$r_T=147\text{ millones de km}=\mathrm{1,47}\cdot {10}^{11}\text{ m}$

$T_T=365\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}=\mathrm{3,1536}\cdot {10}^7\text{ s}$

$M_S={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{(\mathrm{1,47}\cdot {10}^{11})}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}{(\mathrm{3,1536}\cdot {10}^7)}^2}}=\mathrm{1,89}\cdot {10}^{30}\text{ kg}$

La masa del Sol es de $\mathrm{1,89}\cdot {10}^{30}\text{ kg}$, unas trescientas mil veces la de la Tierra.

$\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Venus}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{Marte.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La tercera ley de Kepler dice que el cociente $T^2\mathrm{/}{r}^3$ es el mismo para todos los planetas, porque solo depende de la masa del Sol. Comparando cada planeta con la Tierra:

${\displaystyle \frac{T_p^2}{r_p^3}}={\displaystyle \frac{T_T^2}{r_T^3}}\Rightarrow T_p=T_T{\left({\displaystyle \frac{r_p}{r_T}}\right)}^{3\mathrm{/}2}$

Para Venus, cuyo radio orbital es de 106 millones de kilómetros:

$T_V=365{\left({\displaystyle \frac{106}{147}}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{223,5}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}=\mathrm{1,93}\cdot {10}^7\text{ s}$

Y para Marte, con 223 millones de kilómetros:

$T_M=365{\left({\displaystyle \frac{223}{147}}\right)}^{3\mathrm{/}2}=\mathrm{682,0}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}=\mathrm{5,89}\cdot {10}^7\text{ s}$

Venus tarda $\mathrm{223,5}$ días en dar una vuelta al Sol y Marte, $\mathrm{682,0}$ días. Cuanto más lejos está el planeta, más tarda: es lo que exige la tercera ley.