Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2025

Suponiendo que los planetas del Sistema Solar se mueven en órbitas circulares con los radios orbitales dados en la siguiente tabla:

Planeta	Venus	Tierra	Marte Radio orbital (millones de km)	106	147	223 Radio del planeta (veces el radio de la Tierra)	0,95	1,00	0,53 Masa (veces la masa de la Tierra)	0,72	1,00	Periodo orbital (días terrestres)		365

Calcule la energía mecánica del planeta Venus en su órbita [0,5 puntos] y la masa de Marte en términos de la masa Terrestre, si la velocidad de escape de Marte es la mitad que la de la Tierra [0,5 puntos].

Datos: Constante de gravitación universal: $\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2\mathrm{/}{\mathrm{k}\mathrm{g}}^2$; Radio de la Tierra: 6370 km; Masa de la Tierra: $\mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}\mathrm{k}\mathrm{g}$.

$\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{Venus}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Venus describe una órbita circular, luego la atracción del Sol es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_S{m}_V}{r_V^2}}=m_V{\displaystyle \frac{v^2}{r_V}}\Rightarrow v^2={\displaystyle \frac{G{M}_S}{r_V}}$

Con esa velocidad, la energía cinética vale $E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_V{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_S{m}_V}{2r_V}}$, y la energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial:

$E_m=E_c+E_p={\displaystyle \frac{G{M}_S{m}_V}{2r_V}}-{\displaystyle \frac{G{M}_S{m}_V}{r_V}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{G{M}_S{m}_V}{r_V}}$

La masa de Venus se saca de la tabla, que la da en masas terrestres:

$m_V=\mathrm{0,72}{M}_T=\mathrm{0,72}\cdot \mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}=\mathrm{4,30}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$

Y con la masa del Sol obtenida por la tercera ley de Kepler, $M_S=\mathrm{1,89}\cdot {10}^{30}\text{ kg}$:

$E_m=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,89}\cdot {10}^{30}\cdot \mathrm{4,30}\cdot {10}^{24}}{2\cdot \mathrm{1,06}\cdot {10}^{11}}}=-\mathrm{2,56}\cdot {10}^{33}\text{ J}$

La energía mecánica de Venus en su órbita es de $-\mathrm{2,56}\cdot {10}^{33}\text{ J}$. Que salga negativa es lo que dice que el planeta está ligado al Sol.

$\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rminos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{Terrestre,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Marte}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de escape desde la superficie de un astro se obtiene imponiendo que la energía mecánica del cuerpo sea nula, porque el campo gravitatorio es conservativo:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0\Rightarrow v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R}}}$

Se impone la condición del enunciado, $v_{e,M}={\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_{e,T}$:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_M}{R_M}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}}$

Se elevan al cuadrado los dos miembros y se simplifica $2G$:

${\displaystyle \frac{M_M}{R_M}}={\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \frac{M_T}{R_T}}\Rightarrow M_M={\displaystyle \frac{R_M}{4R_T}}{M}_T$

La tabla da el radio de Marte en radios terrestres, $R_M=\mathrm{0,53}{R}_T$, así que:

$M_M={\displaystyle \frac{\mathrm{0,53}{R}_T}{4R_T}}{M}_T=\mathrm{0,1325}{M}_T$

La masa de Marte es $\mathrm{0,1325}$ veces la de la Tierra, es decir, algo más de la octava parte.