Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2026

Un fragmento desprendido de un satélite de comunicaciones con masa $m=1500$ kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura $h=600$ km sobre su superficie. Desde la superficie terrestre se lanza una sonda de recolección con el objetivo de alcanzar dicha órbita. Se desprecia el rozamiento atmosférico y la rotación de la Tierra.

Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra. [0,5 puntos]

¿Cuál debe ser la energía mínima con la que debe lanzarse la sonda de recolección desde la superficie terrestre para alcanzar y quedar en la órbita circular del fragmento? [1 punto]

Datos: Masa de la Tierra ($M_T$): $\mathrm{5,97}\times {10}^{24}$ kg; Radio de la Tierra ($R_T$): $\mathrm{6,37}\times {10}^6$ m; Constante de gravitación universal ($G$): $\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{/}{\mathrm{k}\mathrm{g}}^2$.

$\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que la energía mecánica del cuerpo sea nula, porque el campo gravitatorio es conservativo y en el infinito tanto la energía cinética como la potencial se anulan:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_e^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=0\Rightarrow v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}}$

$v_e=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{1,12}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde la superficie terrestre es de $\mathrm{1,12}\cdot {10}^4\text{ m/s}$, unos 11,2 km/s.

$\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{lanzarse}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{recolecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alcanzar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{quedar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fragmento?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La energía que hay que comunicar a la sonda es la diferencia entre su energía mecánica en la órbita y la que tiene en la superficie, donde parte del reposo:

$E_{\min }=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}$

En la órbita circular la energía mecánica es la mitad de la potencial, como en el apartado anterior, y en la superficie solo hay energía potencial:

$E_{\min }=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-(-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}})=G{M}_{T}m({\displaystyle \frac{1}{R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{2r}})$

El enunciado no da la masa de la sonda, así que el resultado se deja por unidad de masa:

${\displaystyle \frac{E_{\min }}{m}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{2\cdot \mathrm{6,97}\cdot {10}^6}})$

${\displaystyle \frac{E_{\min }}{m}}=\mathrm{3,39}\cdot {10}^7\text{ J/kg}$

Hay que lanzar la sonda con $\mathrm{3,39}\cdot {10}^7\text{ J}$ por cada kilogramo de masa. Es bastante menos que la energía necesaria para escapar, $\frac{1}{2}{v}_e^2=\mathrm{6,25}\cdot {10}^7\text{ J/kg}$: quedarse en órbita sale más barato que marcharse.