Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2026

La Luna, con masa $M_L$, describe aproximadamente una órbita circular alrededor de la Tierra, de masa $M_T$, con período $T=\mathrm{27,3}$ días.

En la recta que une los centros de la Luna y la Tierra existe un punto $P$ donde el campo gravitatorio debido a ambos astros es nulo. Halle la distancia $x$ desde el centro de la Tierra hasta ese punto. [0,75 puntos]

Determine el valor del potencial gravitatorio total en dicho punto $P$. [0,75 puntos]

Datos: Masa de la Luna ($M_L$): $\mathrm{7,35}\times {10}^{22}$ kg; Masa de la Tierra ($M_T$): $\mathrm{5,97}\times {10}^{24}$ kg; Constante de gravitación universal ($G$): $\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{/}{\mathrm{k}\mathrm{g}}^2$; Radio de la Luna ($R_L$): $\mathrm{1,74}\times {10}^6$ m.

$\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{une}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{centros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ambos}}\mathbf{\text{astros}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{nulo.}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{x}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Los dos campos son atractivos, es decir, cada uno apunta hacia su astro. Fuera del segmento que une los centros los dos van en el mismo sentido y su suma no puede anularse; solo entre la Tierra y la Luna tienen sentidos opuestos, y ahí está el punto buscado.





Llamando $x$ a la distancia desde el centro de la Tierra, el punto está a $r-x$ del centro de la Luna, y allí los dos módulos deben coincidir:

$G{\displaystyle \frac{M_T}{x^2}}=G{\displaystyle \frac{M_L}{(r-x{)}^2}}$

Se simplifica $G$ y se toma la raíz cuadrada de los dos miembros, quedándose con la solución positiva:

${\displaystyle \frac{r-x}{x}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{r}{1+\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}}}$

Se sustituyen los datos:

$\sqrt{{\displaystyle \frac{M_L}{M_T}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}}}=\mathrm{0,1110}$

$x={\displaystyle \frac{\mathrm{3,83}\cdot {10}^8}{\mathrm{1,1110}}}=\mathrm{3,45}\cdot {10}^8\text{ m}$

El punto $P$ está a $\mathrm{3,45}\cdot {10}^8\text{ m}$ del centro de la Tierra, es decir, al 90 % del camino. Queda mucho más cerca de la Luna porque su masa es unas ochenta veces menor y su campo se debilita antes.

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar, así que el potencial total es la suma algebraica de los dos, sin descomponer en componentes:

$V_P=-G{\displaystyle \frac{M_T}{x}}-G{\displaystyle \frac{M_L}{r-x}}$

La distancia del punto al centro de la Luna es:

$r-x=\mathrm{3,83}\cdot {10}^8-\mathrm{3,45}\cdot {10}^8=\mathrm{3,82}\cdot {10}^7\text{ m}$

$V_P=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{3,45}\cdot {10}^8}}-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{3,82}\cdot {10}^7}}$

$V_P=-\mathrm{1,15}\cdot {10}^6-\mathrm{1,28}\cdot {10}^5=-\mathrm{1,28}\cdot {10}^6\text{ J/kg}$

El potencial gravitatorio total en $P$ vale $-\mathrm{1,28}\cdot {10}^6\text{ J/kg}$. Que el campo sea nulo no implica que el potencial lo sea: el campo es un vector y sus dos sumandos se cancelan, mientras que los dos potenciales son negativos y se suman.