Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Dos masas $m_1=5\text{ kg}$ y $m_2=10\text{ kg}$ están situadas en los puntos $(0,0)\text{ m}$ y $(0,-2)\text{ m}$ respectivamente.

a) Calcule y represente gráficamente el vector fuerza gravitatoria debido a las masas $m_1$ y $m_2$, que experimenta una masa $m_3=100\text{ g}$ situada en el punto $(1,-2)\text{ m}$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio creado por $m_1$ y $m_2$, cuando $m_3$ se desplaza del punto $(1,-2)\text{ m}$ al punto $(1,0)\text{ m}$. [1 punto]

c) Razone brevemente el significado físico del signo del trabajo obtenido en el apartado b). [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

Por la ley de gravitación universal, cada masa atrae a $m_3$ hacia sí misma:

$\vec{F}=-G{\displaystyle \frac{M{m}_3}{r^2}}{\vec{u}}_r$

y las dos fuerzas se suman vectorialmente por el principio de superposición.





Se expresa la masa en unidades del Sistema Internacional:

$m_3=100\text{ g}=\mathrm{0,1}\text{ kg}$

Fuerza que ejerce $m_1$, que está en el origen:

$\overrightarrow{r_1}=(0,0)-(1,-2)=(-1,2)\text{ m}\Rightarrow r_1=\sqrt{5}=\mathrm{2,24}\text{ m}$

$F_1=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_3}{r_1^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot \mathrm{0,1}}{5}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-12}\text{ N}$

${\vec{F}}_1=F_1\cdot {\displaystyle \frac{(-1,2)}{\sqrt{5}}}=(-\mathrm{2,98}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{5,97}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-12}\text{ N}$

Fuerza que ejerce $m_2$, que está justo a la izquierda de $m_3$:

$\overrightarrow{r_2}=(0,-2)-(1,-2)=(-1,0)\text{ m}\Rightarrow r_2=1\text{ m}$

${\vec{F}}_2=-G{\displaystyle \frac{m_2{m}_3}{r_2^2}}\vec{\mathrm{ı}}=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{10\cdot \mathrm{0,1}}{1}}\vec{\mathrm{ı}}=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N}$

Sumando ambas contribuciones:

$\vec{F}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2=(-\mathrm{6,97}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{0,597}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-11}\text{ N}$

$F=\sqrt{(\mathrm{6,97}{)}^2+(\mathrm{0,597}{)}^2}\cdot {10}^{-11}=\mathrm{6,99}\cdot {10}^{-11}\text{ N}$

La fuerza es prácticamente horizontal y dirigida hacia $m_2$, ya que esta masa es el doble de grande y está cinco veces más cerca en términos de distancia al cuadrado.



Al ser el campo gravitatorio conservativo, el trabajo es la disminución de la energía potencial y no depende del camino seguido:

$W=E_p(\text{inicial})-E_p(\text{final})$

En el punto de partida $(1,-2)$ las distancias son $r_1=\sqrt{5}\text{ m}$ y $r_2=1\text{ m}$:

$E_p(\text{ini})=-G{m}_3({\displaystyle \frac{m_1}{\sqrt{5}}}+{\displaystyle \frac{m_2}{1}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{0,1}({\displaystyle \frac{5}{\mathrm{2,236}}}+10)$

$E_p(\text{ini})=-\mathrm{8,16}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

En el punto de llegada $(1,0)$ las distancias se intercambian: $r_1=1\text{ m}$ y $r_2=\sqrt{5}\text{ m}$:

$E_p(\text{fin})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{0,1}({\displaystyle \frac{5}{1}}+{\displaystyle \frac{10}{\mathrm{2,236}}})=-\mathrm{6,32}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

$W=-\mathrm{8,16}\cdot {10}^{-11}-(-\mathrm{6,32}\cdot {10}^{-11})$

$W=-\mathrm{1,84}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{brevemente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{significado}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{b).}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El trabajo del campo es negativo, lo que quiere decir que el desplazamiento va en contra de la fuerza gravitatoria: la masa se aleja de la masa dominante $m_2$ y la atracción se opone a ese movimiento.

Un desplazamiento así no es espontáneo. Para llevar $m_3$ del punto $(1,-2)$ al punto $(1,0)$ hay que aportar desde fuera una energía de $\mathrm{1,84}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$, que se almacena como aumento de la energía potencial del sistema.