Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite de 1000 kg de masa describe una trayectoria circular orbitando alrededor de la Tierra, a una altura, respecto de la superficie, de 10000 km. Calcule:

a) El periodo y la velocidad orbital del satélite. [0,5 puntos]

b) La energía que hubo que transmitir al satélite para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra. [1 punto]

c) La energía mínima que habría que suministrar al satélite para que escape de la atracción gravitatoria terrestre desde su órbita actual. [1 punto]

Datos: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra, $R_T=6370\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La atracción gravitatoria terrestre es la fuerza centrípeta que mantiene al satélite en su órbita circular. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra:

$r=R_T+h=6370+10000=16370\text{ km}=\mathrm{1,637}\cdot {10}^7\text{ m}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{\mathrm{1,637}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{4,94}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{1,637}\cdot {10}^7}{\mathrm{4,944}\cdot {10}^3}}$

$T=\mathrm{2,08}\cdot {10}^4\text{ s}$

El satélite da una vuelta cada $\mathrm{2,08}\cdot {10}^4\text{ s}$, es decir, cada $\mathrm{5,78}$ horas, moviéndose a $\mathrm{4,94}\text{ km/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hubo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{transmitir}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ponerlo}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La energía que hay que comunicarle es la diferencia entre su energía mecánica en la órbita y la que tenía en la superficie, donde se supone en reposo:

$\mathrm{\Delta }E=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}$

En una órbita circular la energía total es la mitad de la potencial:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 1000}{2\cdot \mathrm{1,637}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{1,22}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

En la superficie solo tiene energía potencial:

$E_{\text{superficie}}=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 1000}{\mathrm{6,37}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{6,28}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$\mathrm{\Delta }E=-\mathrm{1,22}\cdot {10}^{10}+\mathrm{6,28}\cdot {10}^{10}$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{5,06}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{suministrar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{terrestre}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{actual.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, alcanzar una energía mecánica total igual a cero:

$\mathrm{\Delta }{E}^{\mathrm{\prime }}=0-E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=0-(-\mathrm{1,22}\cdot {10}^{10})$

$\mathrm{\Delta }{E}^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,22}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

Esa cantidad, el valor absoluto de la energía total en la órbita, es la energía de ligadura del satélite: hace falta bastante menos para escapar desde la órbita que la que costó llegar hasta ella.