Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un cuerpo de masa $8\cdot {10}^8\text{ kg}$ se encuentra fijado en el punto $(100,0)\text{ m}$ de un cierto sistema de referencia. Otro cuerpo de masa $2\cdot {10}^8\text{ kg}$ se encuentra fijado en el punto $(0,50)\text{ m}$.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a los dos cuerpos en el punto $(0,0)\text{ m}$. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio debido a los dos cuerpos en los puntos $(0,0)\text{ m}$ y $(100,50)\text{ m}$. [1 punto]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de ${10}^4\text{ kg}$ cuando se desplaza desde el punto $(0,0)\text{ m}$ hasta el punto $(100,50)\text{ m}$. [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cuerpos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El campo gravitatorio creado por una masa puntual se dirige siempre hacia ella:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}{\vec{u}}_r$

y los campos de las dos masas se suman por el principio de superposición.





Campo creado por la masa $M_1=8\cdot {10}^8\text{ kg}$, situada en $(100,0)\text{ m}$. La distancia al origen es de 100 m y el campo apunta hacia ella, es decir, en el sentido positivo del eje $x$:

$g_1=G{\displaystyle \frac{M_1}{r_1^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{8\cdot {10}^8}{{100}^2}}=\mathrm{5,34}\cdot {10}^{-6}\text{ N/kg}$

Campo creado por la masa $M_2=2\cdot {10}^8\text{ kg}$, situada en $(0,50)\text{ m}$, que apunta en el sentido positivo del eje $y$:

$g_2=G{\displaystyle \frac{M_2}{r_2^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^8}{{50}^2}}=\mathrm{5,34}\cdot {10}^{-6}\text{ N/kg}$

Los dos campos resultan iguales en módulo: la segunda masa es cuatro veces menor, pero está a la mitad de distancia, y el cuadrado de la distancia compensa exactamente esa diferencia.

$\vec{g}=(\mathrm{5,34}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{5,34}\vec{\mathrm{ȷ}})\cdot {10}^{-6}\text{ N/kg}$

$g=\sqrt{2}\cdot \mathrm{5,34}\cdot {10}^{-6}=\mathrm{7,55}\cdot {10}^{-6}\text{ N/kg}$

El campo total forma ${45}^{\circ }$ con los ejes, como muestra la figura.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cuerpos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">100</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">50</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El potencial es una magnitud escalar, así que basta sumar los de las dos masas:

$V=-G({\displaystyle \frac{M_1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{M_2}{r_2}})$

En el origen las distancias son 100 m y 50 m:

$V(0,0)=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{8\cdot {10}^8}{100}}+{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^8}{50}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,2}\cdot {10}^7$

$V(0,0)=-\mathrm{8,00}\cdot {10}^{-4}\text{ J/kg}$

En el punto $(100,50)$ las distancias se invierten: dista 50 m de $M_1$ y 100 m de $M_2$:

$V(100,50)=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{8\cdot {10}^8}{50}}+{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^8}{100}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,8}\cdot {10}^7$

$V(100,50)=-\mathrm{1,20}\cdot {10}^{-3}\text{ J/kg}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mn\; mathvariant="bold">4</mn></msup><mtext> kg</mtext></mrow>}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desplaza}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">100</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">50</mn><mo\; stretchy="false">)</mo><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales:

$W=m(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})={10}^4(-\mathrm{8,004}\cdot {10}^{-4}+\mathrm{1,2006}\cdot {10}^{-3})$

$W=\mathrm{4,00}\text{ J}$

El trabajo es positivo porque el punto de llegada tiene menor potencial: el desplazamiento se produce espontáneamente, en el sentido en que el campo empuja a la masa.