Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Un satélite natural describe una órbita circular de 8000 km de radio alrededor de un cierto planeta $P$. Sabiendo que el periodo de revolución es de 32 horas, halle:

a) La masa del planeta $P$. [1,25 puntos]

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta $P$. [1,25 puntos]

Datos: radio del planeta, $R_P=5500\text{ km}$; constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La atracción gravitatoria del planeta es la fuerza centrípeta del satélite. Por la segunda ley de Newton, escribiendo la velocidad en función del periodo, se llega a la tercera ley de Kepler:

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$





Se pasan los datos a unidades del Sistema Internacional:

$r=8000\text{ km}=8\cdot {10}^6\text{ m}T=32\text{ h}=\mathrm{1,152}\cdot {10}^5\text{ s}$

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{(8\cdot {10}^6)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {(\mathrm{1,152}\cdot {10}^5)}^2}}$

$M=\mathrm{2,28}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$

El planeta $P$ tiene una masa de $\mathrm{2,28}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$, unas trescientas veces menor que la de la Tierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R_P}}=0+0$

Se simplifica la masa del cuerpo, lo que muestra que la velocidad de escape no depende de él:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2GM}{R_P}}}$

Se sustituyen los datos, con el radio en metros:

$R_P=5500\text{ km}=\mathrm{5,5}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{2,283}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{5,5}\cdot {10}^6}}}$

$v_{\text{esc}}=744\text{ m/s}$

Basta con menos de $\mathrm{0,75}\text{ km/s}$ para escapar de este planeta, frente a los $\mathrm{11,2}\text{ km/s}$ que hacen falta en la Tierra.