Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Dos masas idénticas, de 500 g, están situadas en los puntos $(-3,0)$ y $(+3,0)$. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio en el punto $(-1,0)$, así como la fuerza gravitatoria que experimenta una masa de 100 g situada en ese punto. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio en los puntos $(-1,0)$ y $(+2,0)$ debido a las dos masas de 500 g. [0,75 puntos]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 200 g cuando se desplaza desde el punto $(-1,0)$ hasta el punto $(+2,0)$. [0,75 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{experimenta}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{g}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



El campo gravitatorio creado por una masa puntual se dirige siempre hacia ella:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{m}{r^2}}{\vec{u}}_r$

Se calculan las distancias del punto $(-1,0)$ a cada masa:

$r_1=\mathrm{\mid }-1-(-3)\mathrm{\mid }=2\text{ m}{r}_2=\mathrm{\mid }-1-3\mathrm{\mid }=4\text{ m}$

El campo de la masa de la izquierda apunta hacia ella, es decir, en el sentido negativo del eje $x$:

$g_1=G{\displaystyle \frac{m}{r_1^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{4}}=\mathrm{8,34}\cdot {10}^{-12}\text{ N/kg}$

Y el de la masa de la derecha, en el sentido positivo:

$g_2=G{\displaystyle \frac{m}{r_2^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{16}}=\mathrm{2,08}\cdot {10}^{-12}\text{ N/kg}$

Por el principio de superposición, y como los dos campos son opuestos, se restan:

$\vec{g}=(-\mathrm{8,34}+\mathrm{2,08})\cdot {10}^{-12}\vec{\mathrm{ı}}$

$\vec{g}=-\mathrm{6,25}\cdot {10}^{-12}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/kg}$

La fuerza sobre una masa de $100\text{ g}=\mathrm{0,1}\text{ kg}$ colocada ahí es:

$\vec{F}=m\vec{g}=\mathrm{0,1}\cdot (-\mathrm{6,25}\cdot {10}^{-12})\vec{\mathrm{ı}}$

$\vec{F}=-\mathrm{6,25}\cdot {10}^{-13}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N}$

Gana el campo de la masa más cercana, así que el punto es atraído hacia la izquierda.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">+</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{masas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{500}}\mathbf{\text{g.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El potencial es una magnitud escalar, así que se suman sin más los de las dos masas:

$V=-Gm({\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}})$

En el punto $(-1,0)$, con $r_1=2\text{ m}$ y $r_2=4\text{ m}$:

$V(-1,0)=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{0,5}({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})$

$V(-1,0)=-\mathrm{2,50}\cdot {10}^{-11}\text{ J/kg}$

En el punto $(+2,0)$ las distancias son $5\text{ m}$ y $1\text{ m}$:

$V(2,0)=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{0,5}({\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{1}})$

$V(2,0)=-\mathrm{4,00}\cdot {10}^{-11}\text{ J/kg}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{g}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desplaza}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">+</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales y no depende del camino:

$W=m(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})$

$W=\mathrm{0,2}(-\mathrm{2,501}\cdot {10}^{-11}+\mathrm{4,002}\cdot {10}^{-11})$

$W=\mathrm{3,00}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$

El trabajo es positivo porque el punto de llegada tiene un potencial más negativo: el desplazamiento se produce espontáneamente, en el sentido en que el campo empuja a la masa.