Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un cuerpo de masa $2\cdot {10}^{10}\text{ kg}$ se encuentra fijado en el punto $(-50,0)$ de un cierto sistema de referencia. Otro cuerpo de masa $3\cdot {10}^{10}\text{ kg}$ se encuentra fijado en el punto $(100,0)$. Todas las distancias se dan en metros.

a) Calcule y represente gráficamente el vector campo gravitatorio debido a los dos cuerpos en el punto $(0,0)$. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio debido a los dos cuerpos en los puntos $(0,0)$ y $(0,50)$. [1 punto]

c) Calcule el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa de 10 kg cuando se desplaza desde el punto $(0,0)$ hasta el punto $(0,50)$. [0,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{represente}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cuerpos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



El campo gravitatorio creado por una masa puntual se dirige siempre hacia ella:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}{\vec{u}}_r$

Campo creado por la masa de $2\cdot {10}^{10}\text{ kg}$, que está 50 m a la izquierda del origen, de modo que su campo apunta hacia $-\vec{\mathrm{ı}}$:

$g_1=G{\displaystyle \frac{M_1}{r_1^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{10}}{{50}^2}}=\mathrm{5,34}\cdot {10}^{-4}\text{ N/kg}$

Campo creado por la masa de $3\cdot {10}^{10}\text{ kg}$, que está 100 m a la derecha, con el campo hacia $+\vec{\mathrm{ı}}$:

$g_2=G{\displaystyle \frac{M_2}{r_2^2}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{10}}{{100}^2}}=\mathrm{2,00}\cdot {10}^{-4}\text{ N/kg}$

Por el principio de superposición, y siendo los dos campos opuestos:

$\vec{g}=(-\mathrm{5,336}+\mathrm{2,001})\cdot {10}^{-4}\vec{\mathrm{ı}}$

$\vec{g}=-\mathrm{3,34}\cdot {10}^{-4}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/kg}$

Aunque la segunda masa es mayor, la primera está a la mitad de distancia, y como la distancia entra al cuadrado su campo resulta más del doble: la resultante apunta hacia ella.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{cuerpos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{y}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">50</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El potencial es una magnitud escalar y se suman los de las dos masas:

$V=-G({\displaystyle \frac{M_1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{M_2}{r_2}})$

En el origen las distancias son 50 m y 100 m:

$V(0,0)=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{10}}{50}}+{\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{10}}{100}})=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 7\cdot {10}^8$

$V(0,0)=-\mathrm{4,67}\cdot {10}^{-2}\text{ J/kg}$

En el punto $(0,50)$ las distancias se calculan con el teorema de Pitágoras:

$r_1^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{50}^2+{50}^2}=\mathrm{70,7}\text{ m}{r}_2^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{100}^2+{50}^2}=\mathrm{111,8}\text{ m}$

$V(0,50)=-\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}({\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{10}}{\mathrm{70,71}}}+{\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{10}}{\mathrm{111,8}}})$

$V(0,50)=-\mathrm{3,68}\cdot {10}^{-2}\text{ J/kg}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desplaza}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">50</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como el campo gravitatorio es conservativo, el trabajo se obtiene de la diferencia de potenciales:

$W=m(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})=10(-\mathrm{4,669}\cdot {10}^{-2}+\mathrm{3,676}\cdot {10}^{-2})$

$W=-\mathrm{9,93}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

El trabajo es negativo porque el punto de llegada está más lejos de las dos masas: el campo, siempre atractivo, se opone al desplazamiento y hay que aportar esa energía desde fuera.